Bài 105686

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{{{x^2}\cos \alpha + 2x\sin \alpha + 1}}{{x + 2}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi

$\alpha = 0$ .
2) Xác định

$\alpha$ để đường tròn có tâm ở gốc tọa độ và tiếp xúc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có bán kính lớn nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 1:49:03 PM

$1)$ Dành cho bạn đọc.

$2)$ Viết lại hàm số đã cho dưới dạng

$y = - x\cos \alpha + 2\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right) - \frac{{4\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right) + 1}}{{x + 2}}$
Khi đó ta có phương trình tiệm cận xiên là

$d:y = - x\cos \alpha + 2\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)$
Bán kính đường tròn có tâm tại gốc tọa độ

$O$ và tiếp xúc với tiệm cận xiên

$d$ của đồ thị là khoảng cách từ

$O$ đến

$d$ :

$R = \frac{{2\left| {\cos \alpha - \sin \alpha } \right|}}{{\sqrt {1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\alpha } }}$

$R$ lớn nhất

$\Leftrightarrow R = 4{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)^2}/\left( {1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\alpha } \right)$ lớn nhất

$(1)$
Đặt

$t = \tan\alpha$ khi đó

$(1)$ trở thành:

$y = {R^2} = 4{\left( {1 - t} \right)^2}/\left( {2 + {t^2}} \right)$

$(2)$
Hàm số xác định với mọi

$t$ . Ta tìm miền giá trị của

$y$ :

$(2)$

$\Leftrightarrow \left( {4 - y} \right){t^2} - 8t + 4 - 2y = 0$
a)

$y = 4 \Leftrightarrow t = - 1/2.$
b)

$y \ne 4$ :

$\Rightarrow \Delta ' = 16 - \left( {4 - y} \right)\left( {4 - 2y} \right) = 12y - 2{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le y \le 6.$
Vậy

$\max R = \sqrt {m{\rm{axy }}} {\rm{ = }}\sqrt {\rm{6}}$ được khi

$t = - 2$ , tức là khi
Dấu = xảy ra khi

$tan\alpha = - 2 = tan\varphi \Leftrightarrow \alpha = \varphi + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Bài 105686

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105686

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan