Bài 105716

Question

Cho hàm số:

$y = - (m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x - 6$
Gọi (

$Cm$ ) là đồ thị của nó.

$1$ . Xác định

$m$ để hàm số đơn điệu trên

$R$ . Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

$2$ . Tìm tất cả các điểm cố định trong mặt phẳng tọa độ mà (

$Cm$ ) đi qua với mọi giá trị

$m$ . Tiếp tuyến của (

$Cm$ ) tại mỗi điểm cố định đó có cố định hay không khi m thay đổi? Tại sao?

$3$ . Với giá trị nào của

$m$ thì hàm số đạt cực đại tại

$x = 1$ . Trong trường hợp đó, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

score 0 · Answer 1

$1.$
Hàm số đơn điệu trên

$R$ khi và chỉ khi

$y’$ không đổi dấu.
+ Nếu

${m^{\rm{2}}} + {\rm{5m}} = 0\Leftrightarrow m=0$ hoặc

$m =-5$ thì

$y’=6$ với mọi

$x$ (nếu

$m = 0$ ) hoặc

$y’ = -60x + 6$ (nếu

$m = -5$ ).
Hàm số đơn điệu trên

$R \Leftrightarrow m = 0.$
+ Nếu

${{\rm{m}}^{2}} + {\rm{5m}} \ne 0$ thì y’ không đổi dấu

$\Leftrightarrow \Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m)≤ 0 \Leftrightarrow -5/3 ≤ m < 0$ nên

$y’ > 0$ với mọi

$x$

$\Leftrightarrow$ hàm số đồng biến với mọi

$x.$

$2.$

$\begin{array}{l} y = - (m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x - 6\\ {x^3}.m^2 = (5{x^3} - 6{x^2})m + y - 6x + 6 = 0 \end{array}$
Hệ

$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 0\\ 5{x^3} - 6{x^2} = 0\\ y - 6x + 6 = 0 \end{array} \right.$
có nghiệm duy nhất

$x = 0, y = 6$ nên với mọi

$m$ thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định

$A(0;6)$
Vì

$y’(0) = 6$ với mọi nên tiếp tuyến của (

$Cm$ ) tại điểm cố định

$A(0;6$ ) cố định khi

$m$ thay đổi.

$3$ . Nếu hàm số đạt cực đại tại

$x = 1$ thì

$y’(1) = 0 \Leftrightarrow - 3{m^2} - 3m + 6 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 2 \end{array} \right.$
Ta có:

$y'' = - 6({m^2} + 5m)x + 12m \Rightarrow y''(1) = - 6{m^2} - 18m$
Khi

$m = 1, y’’(1) = -24 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại

$x = 1$
Khi

$m = -2, y’’(1) = 12 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại

$x = 1.$
Vậy hàm số đạt cực đại tại

$x = 1$ khi

$m = 1$ .
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: xin dành cho bạn đọc .

Bài 105716

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105716

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan