Bài 105742

Question

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Xác định các giao điểm của đồ thị với trục hoành.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm $A\left( {\frac{{23}}{9}, - 2} \right)$.
3) Tìm trên đường thẳng $y = - 2$ các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 4:10:22 PM

$1)$ Vẽ đồ thị dành cho bạn đọc
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình
        ${x^3} - 3x + 2 = 0$                $(1)$
Do $1 + ( - 3) + 2 = 0$ nên $x = 1$ là một nghiệm của (1) và
$ \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1,{\rm{ x}} = 1 \pm \sqrt 3 $.

$2)$ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(23/9{\rm{ ; }} - 2)$ có phương trình $y = k(x - 23/9) - 2$.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ
    $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3{x^2} + 2 = k(x - 23/9) - 2\\
3{x^2} - 6x = k
\end{array} \right.$
Thế $k$ từ phương trình thứ $2$ vào phương trình đầu ta có
    $\begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 4 = 3x(x - 2)(x - 23/9)\\
\Leftrightarrow (x - 2)({x^2} - \frac{{10}}{3}x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2,{\rm{ x}} = 3,{\rm{ x}} = \frac{1}{3}
\end{array}$
Với $x = 2 \Rightarrow k = 0$, ta có tiếp tuyến $y = - 2$.
Với $x = 3 \Rightarrow k = 9$, ta có tiếp tuyến
    $y = 9(x - 23/9) - 2 \Leftrightarrow y = 9x - 25$.
Với $x = \frac{1}{3} \Rightarrow k = - \frac{5}{3}$, ta có tiếp tuyến.
    $y = - \frac{5}{3}(x - \frac{{23}}{9}) - 2 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{3}x + \frac{{61}}{{27}}$.

$3)$ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(a{\rm{ ,}} - 2)$có phương trình $y = k(x - a) - 2$.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ
    $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3{x^2} + 2 = k(x - a) - 2\\
3{x^2} - 6x = k
\end{array} \right.$
Thế $k$ từ hệ phương trình thứ 2 vào phương trình đầu ta có:
    ${x^3} - 3{x^2} + 4 = 3x(x - 2)(x - a)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow (x - 2)({x^2} - x - 2) = (x - 2)(3{x^2} - 3ax)\\
\Leftrightarrow (x - 2)\left[ {2{x^2} - (3a - 1)x + 2} \right] = 0
\end{array}$
Với $x = 2$ ta có tiếp tuyến $y = - 2{\rm{ }} \Rightarrow $ không thể có tiếp tuyến thứ hai vuông góc với nó.
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của $2{x^2} - (3a + 1)x + 2 = 0$
Trước hết phải có:
    $\Delta = {(3a - 1)^2} - {4^2} > 0 \Leftrightarrow a < - 1$ hoặc $a > 5/3$.
Do hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
$\begin{array}{l}
\Rightarrow - 1 = y'({x_1})y'({x_2}) = (3x_1^2 - 6{x_1})(3x_2^2 - 6{x_2})\\
             = 9{x_1}{x_2}({x_1} - 2)({x_2} - 2) = 9{x_1}{x_2}\left[ {{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4} \right]{\rm{              (*)}}
\end{array}$
Thế ${x_1}{x_2} = 2/2 = 1$, ${x_1} + {x_2} = (3a - 1)/2$ vào $(*)$ ta được
    $ - 1 = 9\left[ {1 - (3a - 1) + 4} \right] \Leftrightarrow a = 55/27{\rm{   ( > 5/3)}}$

Đáp số : $a = 55/27$

Bài 105742

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105742

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan