Bài 105808

Question

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

$y = x - \frac{1}{{x + 1}}$

$2$ . Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

$3$ . Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

score 0 · Answer 1

$1.$ Xin dành cho bạn đọc. .

$2.$ Gọi

$G$ là giao diểm

$2$ tiệm cận thì

$G(-1,-1)$ . Đặt

$x=X-1,y=Y-1$ rồi thay vào

$y=x-\frac{1}{x+1}$ , ta được

$Y=\frac{x^2-1}{x}$ .Trong hệ tọa độ

$GXY$ thì đường cong

$(H)$ (đồ thị vẽ ở

$1$ ) có phương trình

$Y=\frac{x^2-1}{x}$ là một hàm lẻ nên

$(H)$ nhận gốc

$G$ làm tâm đối xứng.

$3.$ Gọi

$M_1(x_1,y_1)$ và

$M_2(x_2,y_2)$ là hai điểm bất kì trên đồ thị của hàm số

$y=x-\frac{1}{x+1}$ và

$M_1\neq M_2.$
Các tiếp tuyến với đồ thị tại

$M_1$ và

$M_2$ song song khi và chỉ khi

$y^/(x_1)=Y^/(x_2)$ tức là :

$1+\frac{1}{(x_1+1)^2} =1+\frac{1}{(x_2+1)^2}$
Điều này tương đương với

$(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)=0$ tức là

$x_1+x_2+2=0$ hay

$x_1+x_2=-2 (x_1\neq x_2$ do

$M_1\neq M_2)$ .Như vậy

$M_1$ và

$M_2$ phải đối xứng với nhau qua

$G$ .

1 Đáp án