Bài 105853

Question

Cho phương trình: $\cos 4x=\cos^2 3x+a\sin^2 x$
a) Bằng cách biến đổi $t=\cos 2x$, hãy giải phương trình khi $a=1$
b) Xác định tham số $a$ để phương trình có nghiệm trong $(0;\frac{\pi}{12})$

score 0 · Answer 1

a) Với $a=1$, ta có phương trình: $\cos 4x=\cos^2 3x+\sin^2 x$
       $2cos^2 2x-1=\frac{1}{2}(1+\cos 6x)+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$
                  $=\frac{1}{2}(1+4\cos^3 2x-3\cos 2x)+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$
Đặt $t=\cos 2x$ với $-1 \leq t \leq 1$
Ta có : $2t^2-1=\frac{1}{2}(1+4t^3-3t)+\frac{1}{2}(1-t)$
     $\Leftrightarrow 4t^2-2=1+4t^3-3t+1 \Leftrightarrow 4t^3-4t^2-4t+4=0$
     $\Leftrightarrow t^3-t^2-t+1=0 \Leftrightarrow (t-1)(t^2-1)=0$
* Với $t-1=0$ thì $\cos 2x=1$
* Với $t^2-1=0$ thì $\cos 2x=\pm 1$ suy ra:
     $\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2} (k \in Z)$
   Phương trình có nghiệm $x=\frac{k\pi}{2} (k\in Z)$
b) Phương trình đã cho: $\cos 4x=\cos^2 3x+a\sin^2 x$
   $\Leftrightarrow 2\cos^2 x-1=\frac{1+\cos 6x}{2}+a.\frac{(1-\cos 2x)}{2}$
   Đặt $t=\cos 2x (-1 \leq t \leq 1)$, ta có:
      $2(2t^2-1)=1+4\cos^3 2x-3\cos 2x+a-a\cos 2x=1+5t^3-3t+a(1-t)$
      $\Leftrightarrow 4t^3-4t^2-3t+3+a(1-t)=0$
      $\Leftrightarrow (t-1)(4t^2-3)+a(1-t)=0$
      $\Leftrightarrow (t-1)(4t^2-3-a)=0$
Do đó: $t=1$ (loại) và $t^2=\frac{a+3}{4}$
Muốn có nghiệm $0<x<\frac{\pi}{12}$ thì phải có : $\frac{\sqrt{3}}{2}<t<1; \frac{3}{4} <t^2<1$
Suy ra: $\frac{3}{4} <\frac{a+3}{4}<1 hay 0<a<1$
Vậy a$\in (0;1)$ thỏa mãn.

Bài 105853

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105853

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan