Bài 105863

Question

Giải hệ: $\begin{cases}\sin x+\cos x=\frac{1}{2}+\sin y-\cos y \\ 4\sin 2x=3+2\sin 2y \end{cases}$

score 0 · Answer 1

Giải
Đặt $u=\sin x+\cos x$ thì $u^2=1-\sin 2x \Rightarrow \sin 2x=u^2-1$
    $v=\sin y-\cos y$ thì $v^2=1-\sin 2y \Rightarrow \sin 2y=1-v^2$
Hệ được viết thành : $\begin{cases}u=\frac{1}{2}+v \\ 4(u^2-1)=3+2(1-v^2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u=\frac{1}{2}+v    (1)\\ 2u^2+v^2-\frac{9}{2}=0     (2)\end{cases}$
Thế $(1)$ vào $(2)$ ta có:
   $2(\frac{1}{2}+v)^2+v^2-\frac{9}{2}=0 \Leftrightarrow 3v^2+2v-4=0 \Leftrightarrow v=\frac{1}{3}(-1\pm \sqrt{13})$
Vì $v=\sin y-\cos y=\sqrt{2}\sin(y-\frac{\pi}{4} \Rightarrow -\sqrt{2} \leq v\leq \sqrt{2}$ do đó ta chỉ nhận:
$v=\frac{1}{3}(\sqrt{13}-1)$ và suy ra: $u=\frac{1+2\sqrt{13}}{6}$
     ($u$ thoả điều kiện: $-\sqrt{2} \leq u \leq \sqrt{2}$)
Hệ trở thành:
    $\begin{cases}\sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{2\sqrt{13}+1}{6} \\ \sqrt{2}\sin(y-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{13}-1}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{2.\sqrt{13}+1}{6}\sqrt{2}=\cos \alpha \\ \sin(y-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{3}(\sqrt{13}-1)=\sin \beta \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x-\frac{\pi}{4}=\pm \alpha+k2\pi \\ y-\frac{\pi}{4}=\beta+m2\pi \end{cases}$ hoặc $y-\frac{\pi}{4}=\pi-\beta+m2\pi$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{\pi}{4}\pm \alpha+k2\pi \\ y=\frac{\pi}{4}+\beta+m2\pi \end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}\pm+k2\pi \\ y=\frac{5\pi}{4}-\beta+m2\pi \end{cases} (k,m \in Z$)

Bài 105863

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105863

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan