Bài 105935

Question

Cho hàm số :

$y = \frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}\,\,\,(C)\,$

$1$ . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

$2$ . Đường thẳng

$\Delta$ đi qua điểm

$B(0;b)$ và song song với tiếp tuyến của

$(C)$ tại điểm

$O(0;0)$ . Xác định

$b$ để đường thẳng

$\Delta$ cắt

$(C)$ tại hai điểm phân biệt

$M, N$ . Chứng minh trung điểm

$I$ của

$MN$ nằm trên một đường thẳng cố định khi

$b$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải.

$2.$ Ta có

$y^/=\frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}; y^/(0)=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ đường thẳng

$\Delta$ qua

$B(0;b)$ và song song với tiếp tuyến tại điểm

$O(0,0)$ là :

$y=-\frac{1}{2} x+b$
Xét phương trình :

$\frac{x^2+x}{x-2} =\frac{-x}{2} +b$
PT

$\Leftrightarrow 2(x^2+x)=-x(x-2)+2b(x-2)$

$\Leftrightarrow 3x^2-2bx+4b=0$

$\Delta '>0\Leftrightarrow b^2-12b>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b<0\\b> 12\end{array} \right.$
Giả sử

$I(x;y)$ là trung điểm của

$MN,$ ta có:

$\begin{cases}x=\frac{x_1+x_2}{2} (1)\\ y=\frac{-x}{2}+b (2) \end{cases}$
Từ

$(1)\Rightarrow b=3x;$
Thay vào

$(2)\Rightarrow y=-\frac{x}{2} +3x\Leftrightarrow y=\frac{5x}{2}$
Vậy trung điểm

$I$ của

$MN$ nằm trên đường thẳng cố định

$y=\frac{5x}{2}$
Vậy tập hợp điểm

$I$ là phần đường thẳng (

$y=\frac{5x}{2}$ ứng với

$x<0$ hoặc

$x>4)$

1 Đáp án