Bài 106045

Question

Cho hàm số: $f(x) = {x^3} -ax $
$a)$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với $a = 3$. Gọi đồ thị này là ($G$). Viết phương trình của Parabol đi qua các điểm $A( - \sqrt 3 ;0)\,\,\,B(\sqrt 3 ;0)$ và tiếp xúc với ($G$)
$b)$ Với những giá trị nào của $x$ thì tồn tại $t \ne x$ sao cho $f(x) = f(t).$

score 0 · Answer 1

$a.$ Với $a=3,f(x)=x^3-3x.$ Khảo sát và vẽ đồ thị
Xin dành cho bạn đọc.
Xét parabol $y=\alpha x^2+\beta x+\gamma (P); (P)$ sẽ đi qua $A(-\sqrt{3},0 )$ và $B(\sqrt{3} ,0)$
$\Leftrightarrow \begin{cases}0=3\alpha-\sqrt{3}\beta+\gamma \\ 0=3\alpha +\sqrt{3}\beta +\gamma \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\beta=0 \\ 3\alpha+\gamma=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\beta =0 \\ \gamma=-3\alpha \end{cases} $
$\Leftrightarrow (P)$ có phương trình $y=\alpha x^2-3\alpha$
$(P)$ sẽ tiếp xúc với đồ thị $y=x^3-3x\Rightarrow $ hệ phươg trình ẩn $x$ sau có nghiệm :
$(H)\begin{cases}x^3-3x=\alpha x^2-3\alpha (1)\\ 3x^2-3=2\alpha x (2) \end{cases} $
$(H) \Leftrightarrow \begin{cases}(x^3-3)(x-\alpha)=0 \\ (x^2-3)+2x(x-\alpha)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2-3=0 (3) \\ \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x=\alpha\end{array} \right. \end{cases} $
Do đó $(H)$ sẽ có nghiệm $\Leftrightarrow x=\alpha$ thỏa mãn $(3)\Leftrightarrow \alpha^2-3=+0\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{3}$
Vậy có $2$ parabol qua $A,B$ và tiếp xúc với $(G)$, đó là các parabol với phương trình
$y=\sqrt{3} x^2-3\sqrt{3} $ và $y=-\sqrt{3} x^2+3\sqrt{3} $
$b) f(x)=f(t)\Leftrightarrow x^3-ax=t^3-at\Leftrightarrow t^3-x^3=at-ax$
$\Leftrightarrow (t-x)(t^2+xt+x^2-a)=0$.Để tồn tại $t\neq 0$ sao cho $f(x)=f(t)$, điều kiện cần và đủ là $\varphi(t=t^2+xt+x^2-a)$ có nghiệm $t\neq x$.
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta =x^2-4(x^2-a)=-3x^2+4a\geq 0 \\ \varphi(x)=3x^2-a\neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow a\neq x^2\leq \frac{4a}{3} $
Do đó, nếu $a\leq 0$ thì không tồn tại $x$ sao cho $t$ thỏa mãn $f(x)=f(t)$.
Nếu $a>0$ thì các giá trị cần tìm của $x$ là $\begin{cases}|x|\leq 2\sqrt{\frac{a}{3} } \\ |x|\neq \sqrt{a} \end{cases} $

Bài 106045

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106045

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan