|
|
$\begin{array}{l}
2\cos 2x + {\sin ^2}x\cos x + \sin {\rm{x}}{\cos ^2}x = m({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x)\\
\Leftrightarrow 2(\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})(\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) + \sin {\rm{x}}\cos x({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x) - m({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x) = 0\\
\Leftrightarrow (\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})\left[ {2(\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) + \sin {\rm{x}}\cos x - m} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = 0\,\,(*)\\
2(\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) + \sin {\rm{x}}\cos x - m = 0\,\,\,(**)
\end{array} \right.
\end{array}$
Phương trình ($*$) $\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x = -\frac{\pi }{4} + k\pi, k\in Z $ (đúng với mọi $m$)
Phương trình ($**$) ${t^2} - 4t + 2m - 1 = 0$ với $t =cosx-\sin x$ và $|t| \le \sqrt 2 $
$1.$ Khi $m = 2$ thì ($**$) $
\Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\,\,\,(N)\\
t = 3\,\,(L)
\end{array} \right.
$
t = 1 thì $\sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2k\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} + 2k\pi
\end{array} \right.,k\in Z$
Kết hợp với ($*$) ta có khi $m = 2$ thì pt có nghiệm:
$\left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = 2k\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} + 2k\pi
\end{array} \right., k\in Z$
$2.$ Vì $x = -\frac{\pi }{4} + k\pi $ nghiệm của pt ($*$) không thuộc $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ với mọi $k$ thuộc $Z$ và với mọi $m$ nên yêu cầu bài toán trở thành:
Xác định $m$ để pt ($**$) có nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$
Ta đã có: ($**$) $ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 2m - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {(t - 2)^2} = 5 - 2m$
Khi $ - 1 \le t \le 1 \Rightarrow - 3 \le t - 2 \le - 1 \Rightarrow 1 \le {(t - 2)^2} \le 9$
Vậy $(**)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ thì cần có: $1 \le 5 - 2m \le 9$
ĐS $-2\leq m\leq 2$
|