Bài 106587

Question

Cho hàm số $f(x)=\frac{2x^{5}+2x}{\left ( x^{4}-1 \right )^{2}} x\neq \pm 1$
a) Xác định các hằng số $ A,B,C,D$ để:
$f(x)=\frac{Ax+B}{\left ( x^{2}-1\right )^{2}}+\frac{Cx+D}{\left ( x^{2}+1 \right )^{}}, \forall x\neq \pm 1$
b) Từ đó suy ra họ nguyên hàm của $f(x)$

score 0 · Answer 1

Ta có: $f(x)=\frac{Ax+B}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}+\frac{Cx+D}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}}=\frac{2x^{5}+2x}{\left ( x^{4}-1 \right )^{2}}, \forall x\neq \pm 1$
$ \Leftrightarrow \left ( Ax+B \right )\left ( x^{2}+1 \right )^{2}+\left ( Cx+D \right )\left ( x^{2}-1 \right )^{2}=2x^{5}+2x; \forall x\neq \pm 1$
$ \Leftrightarrow \left ( A+C \right )x^{5}+\left ( B+D \right )x^{4}+2\left ( A-C \right )x^{3}+2\left ( B-D \right )x^{2}+\left ( A+C \right )x+B+D$
$=2x^{5}+2x; \forall x\neq \pm 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A+C=2\\ B+D=0\\A-C=0\\B-D=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=C=1\\ B=D=0 \end{array} \right.$
b)theo câu a, ta có: $f(x)=\frac{x}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}+\frac{x}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}} \forall x\neq \pm 1 $
Do đó: $F(x)=\int\limits_{}^{}f(x)dx=\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}+\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}}$
$=\frac{-1}{2}\frac{1}{x^{2}-1}-\frac{1}{2}\frac{1}{x^{2}+1}+C=-\frac{x^{2}}{x^{4}-1}+C$

Bài 106587

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106587

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan