Bài 106671

Question

Cho hàm số: $y = x^4 - (m^2 + 10)x^2 + 9\,\,\,\,\,(C)$
$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ($C$) ứng với $m = 0. $
$ 2.$ Chứng minh rằng với mọi $m$ khác $0$, đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm có hoành độ nằm trong khoảng $(-3;3)$ và có hai điểm hoành độ nằm ngoài khoảng $(-3;3).$

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$ Xét phương trình:
${x^4} - ({m^2} + 10){x^2} + 9 = 0\,\,\,\,(1)$
Đặt $t = {x^2} \ge 0$, ta được phương trình:
$\begin{array}{l}
{t^2} - ({m^2} + 10)t + 9 = 0\,\,\,\,(2)\\
\Delta = ({m^2} + 10)^2 - 36 = ({m^2} + 4)({m^2} + 16) > 0\forall m
\end{array}$
Pt($2$) luôn có $2$ nghiệm phân biệt $t_1; t_2.$
Ta lại có:
$\begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = m^2 + 10 > 0\\
{t_1}{t_2} = 9 > 0\\
\Rightarrow 0 < {t_1} < {t_2}\\
{x_{1,2}} = \pm \sqrt {{t_1}} \\
{x_{3,4}} = \pm \sqrt {{t_2}}
\end{array}$
Ta có: $f(9) =81-9(m^2+10)+9= -9m^2<0$ với mọi $m$ khác $0$ nên:
$\Rightarrow 0 < {t_1} < 9 < {t_2}$
Do đó:
Hai nghiệm $x_{1,2}$ nằm trong khoảng $(-3;3)$
Hai nghiệm $x_{3,4}$ nằm ngoài khoảng $(-3;3)$

Bài 106671

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106671

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan