Bài 106671

Question

Cho hàm số:

$y = x^4 - (m^2 + 10)x^2 + 9\,\,\,\,\,(C)$

$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (

$C$ ) ứng với

$m = 0.$

$2.$ Chứng minh rằng với mọi

$m$ khác

$0$ , đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại

$4$ điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm có hoành độ nằm trong khoảng

$(-3;3)$ và có hai điểm hoành độ nằm ngoài khoảng

$(-3;3).$

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải

$2.$ Xét phương trình:

${x^4} - ({m^2} + 10){x^2} + 9 = 0\,\,\,\,(1)$
Đặt

$t = {x^2} \ge 0$ , ta được phương trình:

$\begin{array}{l} {t^2} - ({m^2} + 10)t + 9 = 0\,\,\,\,(2)\\ \Delta = ({m^2} + 10)^2 - 36 = ({m^2} + 4)({m^2} + 16) > 0\forall m \end{array}$
Pt(

$2$ ) luôn có

$2$ nghiệm phân biệt

$t_1; t_2.$
Ta lại có:

$\begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = m^2 + 10 > 0\\ {t_1}{t_2} = 9 > 0\\ \Rightarrow 0 < {t_1} < {t_2}\\ {x_{1,2}} = \pm \sqrt {{t_1}} \\ {x_{3,4}} = \pm \sqrt {{t_2}} \end{array}$
Ta có:

$f(9) =81-9(m^2+10)+9= -9m^2<0$ với mọi

$m$ khác

$0$ nên:

$\Rightarrow 0 < {t_1} < 9 < {t_2}$
Do đó:
Hai nghiệm

$x_{1,2}$ nằm trong khoảng

$(-3;3)$
Hai nghiệm

$x_{3,4}$ nằm ngoài khoảng

$(-3;3)$

Bài 106671

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106671

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan