Gọi M là trung điểm BC thì $\widehat{A’MA} $ là góc giữa (A’BC) và (ABC)
$\widehat{A’MA} = 60^{0}$
Goi H là trọng tâm tam giác ABC thì $\frac{ MG}{MA’}= \frac{ MH}{MA}= \frac{ 1}{3} \Rightarrow GH // AA’ \Rightarrow GH (ABC)$
Dễ thấy GA=GB=GC: hình chóp GABC là hình chóp tam giác đều.
Tam giác vuông AMA’ cho:
$AA’=AM. \tan 60^{0}=\frac{ a \sqrt{ 3}}{2}. \sqrt{ 3}= \frac{ 3a}{2}$
$\Rightarrow GH= \frac{ a}{2}$
$V_{ABC.A’B’C’}= \frac{ a^{2} \sqrt{ 3}}{4}. \frac{ 3a}{2}= \frac{ 3a^{3} \sqrt{ 3}}{8}(đvtt)$
Trong mặt phẳng (GAH), đường trung trực của AG cắt GH( GH là đường trung trực vòng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC, là tập hợp những điểm cách đều ba điểm A, B, C) tại I: I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
Tam giác vuông AGH cho $AG= \sqrt{ AH^{2}+GH^{2}}= \sqrt{ \frac{ a^{2} }{3}} + \frac{ a^{2} }{4}= \frac{ a \sqrt{ 7}}{2 \sqrt{ 3}}$
AKHI là tứ giác nội tiếp nên:
$GK.GA=GH.GI \Leftrightarrow GI= \frac{ GA^{2}}{2GH}= \frac{ \frac{ 7 a^{2} }{12}}{a}= \frac{ 7a}{12}(đvd)$
Vậy 2 giá trị cần tìm lần lượt là $\frac{ 3a^{3} \sqrt{ 3}}{8}(đvtt)$ và $\frac{ 7a}{12}(đvd)$