Bài 106849

Question

Cho elip

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\,\, ;\,\,A( - 2;0)$
Giả sử

$M$ là điểm di động trên elip. Gọi

$H$ là hình chiếu vuông góc của

$M$ trên trục

$Oy$ . Giả sử

$AH$ cắt

$OM$ tại

$P$ . Chứng minh rằng khi

$M$ thay đổi trên Elip thì

$P$ luôn chạy trên một đường cong cố định.

score 0 · Answer 1

Elip đã cho nhận

$Ox$ là trục đối xứng và điểm

$A(-2;0)$ thuộc trục đối xứng đó nên (

$C$ ) cũng nhận

$Ox$ làm trục đối xứng, vì vậy chỉ cần xét

$M$ chạy trên nửa phía trên trục hoành của elip. Gọi

$k$ là hệ số góc của đường thẳng

$OM$ thì

$OM$ có phương trình:

$y = kx$ . Thế

$y = kx$ vào

$\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\,\,$ ta được

$(4{k^2} + 1){x^2} = 4$

$\Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{{4{k^2} + 1}}$

$\Rightarrow x = \frac{{ \pm 2}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}$
Chú ý rằng nếu

$k \ge 0$ thì

$OM$ nằm trong góc phần tư thứ nhất

$\Rightarrow x \ge 0$

$\Rightarrow x = \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}$
Còn nếu

$k < 0$ thì

$OM$ nằm trong góc phần tư thứ

$II$

$\Rightarrow x < 0$

$\Rightarrow x = - \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}$

$a)$ với

$k \geq 0$ thì

$M$ có tọa độ

$x = \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }};\,y = \frac{2k}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }} \Rightarrow H\left( {0;\frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}} \right)$

$(AH):\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{\frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{{ - 2}} + \frac{{y\sqrt {4{k^2} + 1} }}{{2k}} = 1$
Để tìm tọa độ giao điểm

$OM$ và

$AH$ (tức là tọa độ

$P$ ) ta thế

$y = kx$ vào pt

$AH \Rightarrow \frac{x}{{ - 2}} + \frac{{kx\sqrt {4{k^2} + 1} }}{{2k}} = 1 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {4{k^2} + 1} - 1} \right)x = 2$
Vậy (

$P$ ) có tọa độ:

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} - 1}}\,\,(4)\\ y = kx\,\,(5) \end{array} \right.$
Khử

$k$ từ hệ (

$4), (5) : (4):$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {4{k^2} + 1} = \frac{2}{x} + 1 \Rightarrow {k^2} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}\\ \Rightarrow {k^2}{x^2} = 1 + x\,(5) \Rightarrow {y^2} = 1 + x \end{array}$
Do đó

$P$ chạy trên Parabol

${y^2} = 1 + x$

$b)$ Với

$k < 0$ thì

$M$ có tọa độ

$x = - \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }} \,\,;\,\,y = - \frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}\,\,;\,\,H\left( {0; - \frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}} \right)$
Giải tương tự như câu

$a)$ ta cũng được

$P$ chạy trên Parabol

${y^2} = 1 + x$
Vậy khi

$M$ chạy trên nửa elip phía trên trục hoành thì

$P$ chạy trên Parabol

${y^2} = 1 + x$ . Parabol
này nhận

$Ox$ làm trục đối xứng

$\Leftrightarrow$ Khi

$M$ chạy trên cả elip thì

$P$ chạy trên đường cong (

$C$ ):

${y^2} = 1 + x$
Bạn đọc tự vẽ