Bài 107007

Question

Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi công thức truy hồi:
a)$\begin{cases}u_1=3 \\ u_{n+1}=2+\frac{1}{2}u_n \end{cases}$ b)$\begin{cases}u_1=a \\ u_{n+1}=a+bu_n \end{cases}$

score 0 · Answer 1

a) Hãy tính vài số hạng đầu của dãy:
$u_1=3; u_2=2+\frac{1}{2}u_1=\frac{7}{2}=4-\frac{1}{2}$
$u_3=2+\frac{1}{2}u_2=2+\frac{7}{4}=4-\frac{1}{2^2}=\frac{15}{4}$
$u_4=2+\frac{1}{2}u_3=2+\frac{15}{8}=4-\frac{1}{2^3}=\frac{31}{8}    $
Dễ thấy $u_n=4-\frac{1}{2^{n-1}} $
CM bằng phương pháp quy nạp:
      $u_n=4-\frac{1}{2^{n-1}} $
+) $n=1$ đúng.
+) Giả sử đúng với $n=k (k \geq 1)$ tức $u_k=4-\frac{1}{2^{k-1}} $.
Ta cần chứng minh:
      $u_{k+1}=4-\frac{1}{2^k} $.
Thật vậy:
      $u_{k+1}=2+\frac{1}{2} U_k$
                  $=2+\frac{1}{2} (4- \frac{1}{2^{k-1}} ) $
                  $=4-\frac{1}{2^k}   \Rightarrow $ đúng với $n=k+1.$
Vậy theo nguyên lý quy nạp:
$\Rightarrow       u_n=4-\frac{1}{2 ^{n-1}} $.
b) $u_2=a+bu_1=a(1+b)=a.\frac{1-b^2}{1-b}   (k \neq 1)$
$u_3=a+bu_2=a+b.a(1+b)=a(1+b+b^2)=a.\frac{1-b^3}{1-b} (b \neq 1)$
                  ....
Dự đoán: $u_n=a.\frac{1-b^n}{1-b}    (*)$
CM $(*)$ bằng phương pháp quy nạp:
+) $n=1$ đúng.
+) Giả sử $(*)$ đúng trong trường hợp $n=k (k geq 1)$ tức $u_k=a\frac{1-b^k}{1-b} $
Có $u_{k+1}=a+bu_k$
                  $=a+b.a.\frac{1-b^k}{1-b} $
                  $=a(1+b+b^2+...+b^k)$
                  $=a.\frac{1-b^{k+1}}{1-b} $
$\Rightarrow (*)$ đúng với $n=k+1.$
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta được:
      $u_n=a\frac{1-b^n}{1-b}    (b \neq 1)$
Trong trường hợp $b=1 \Rightarrow $ dãy số được xác định $\begin{cases}u_1=a \\ u_{n+1}=a+u_n \end{cases} \Rightarrow   \begin{cases}u_1=a \\ u_{n+1}-u_b=a \end{cases}$
$\Rightarrow   (u_n)$ là cấp số cộng có: $\begin{cases}u_1=a \\ d=a\end{cases}   \Rightarrow u_n=a+(n-1)a=n.a$.
b) Tương tự câu a) ta có: $u_n=a \frac{1-b^n}{1-b}, b \neq 1 $

Bài 107007

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107007

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan