(Ta phải tính $\log_{7}2$ và $\log_{7}3$ theo $a=\log_{7}12 $ và $b=\log_{12}24$)Từ giả thiết $\left\{ \begin{array}{l} a=\log_{7}12 \\ b=\log_{12}24 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\log_{7}(2^2.3)=2\log_{7}2+\log_{7}3 \\ ab=\log_{7}12.\log_{12}24=\log_{7}24 \end{array} \right. $Hay $\left\{ \begin{array}{l} a=2\log_{7}2+\log_{7}3 \\ ab=\log_{7}(2^3.3)=3\log_{7}2+\log_{7}3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log_{7}2=ab-a \\ \log_{7}3=3a-2ab \end{array} \right. $Sau cùng ta được $ \log_{54}168= \frac{(3a - 2ab) + 1 + 3 (ab - a)}{(ab - a) + 3 (3a- 2ab)} $ $\Leftrightarrow \log_{54}168=\frac{ab+1}{a(8-5b)}$b) Ta có $\log_{25}24=\log_{5^2}(2^3.3)=\frac{1}{2}(3\log_{5}2+\log_{5}3)$(Ta phải tính $\log_{5}2 $ và $\log_{5}3 $ theo $a=\log_{6}15$ và $\log_{12}18)$.Ta có $\left\{ \begin{array}{l} a=\log_{6}15=\frac{\log_{5}15 }{\log_{5}6 }=\frac{1+\log_{5}3 }{\log_{5}2+\log_{5}3} (1)\\b=\log_{12}18=\frac{\log_{5}18 }{\log_{5}12 }= \frac{\log_{5}(2.3^2)}{\log_{5}(2^2.3)}=\frac{\log_{5}2+2\log_{5}3} {2\log_{5}2+\log_{5}3 } (2)\end{array} \right.$ Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\left\{ \begin{array}{l} a=\frac{1+y}{x+y} \\ b=\frac{x+2y}{2x+y} \end{array} \right.$ với $\left\{ \begin{array}{l} x=\log_{5}2 \\ y=\log_{5}3 \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} ax+(a-1)y = 1\\ (2b-1)x+(b-2)y=0 \end{array} \right.$$D = \left| \begin{array}{l}a a-1\\2b - 1 b-2\end{array} \right| $ =$-a-ab+2b-1$;$D_{x} = \left| \begin{array}{l}1 a-1\\0 b-2\end{array} \right| $= $b-2$; $D_{y}=\left| \begin{array}{l}a 1\\2b-1 0\end{array} \right|$= $1-2b$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{b-2}{-a-ab+2b-1}=\frac{2-b}{a+ab-2b+1} \\ y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{1-2b}{-a-ab+2b-1}=\frac{2b-1}{a+ab-2b+1} \end{array} \right. $ Lúc đó, $\log_{25}24=\frac{1}{2}(3x+y)=\frac{1}{2}(\frac{6-3b+2b-1}{a+ab-2b+1}) $Hay $\log_{25}24=\frac{1}{2}(\frac{5-b}{a+ab-2b+1}) $
Thẻ
Lượt xem