Bài 107331

Question

Cho bốn số

$a,b,c,d$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Chứng minh:
a)

$(a-d)^2=(a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2$
b)

$(ab+bc+cd)^2=(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)$

score 0 · Answer 1

a)

$\div \div a,b,c.d \Rightarrow ad=bc, b^2=ac, c^2=bd (1)$

$(a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2=(a^2+c^2-2ac)+(b^2+c^2-2bc)+(b^2+d^2-2bd)$

$= (a^2+c^2-2b^2)+(b^2+c^2-2ad)+(b^2+d^2-2c^2)$

$=a^2+d^2-2ad=(a-d)^2$ (đpcm).

b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ

$(a,b,c)$ và

$(b,c,d)$ . Ta có:

$(ab+bc+cd)^2 \geq (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)$

Dấu "=" xảy ra khi

$\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}$ và

$\dfrac{c}{b}=\dfrac{d}{c}$ hay

$\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{u_4}{u_3}$

$\Leftrightarrow \div\div u_1, u_2, u_3, u_4$ tức

$\div\div a,b,c,d$ ở đây

$u_1=a, u_2=b, u_3=c, u_4=d$ (đpcm)

1 Đáp án