Bài 107334

Question

Cho ba góc $\alpha, \beta, \gamma$ khác $\frac{\pi}{2}+k\pi (k \in Z) $. Chứng minh rằng nếu ta có $\div \sin^2\alpha, \sin^2\beta, \sin^2\gamma$ và $\sin \beta \neq 0, \tan \alpha \tan \gamma =1$ thì $\tan \alpha, \tan \beta, \tan \gamma$ lập thành một cấp số nhân.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/10/2012 11:26:17 AM

$\div      \sin^2 \alpha, \sin^2\beta, \sin^2\gamma \Rightarrow \sin^2\beta-\sin^2\alpha=\sin^2 \gamma - \sin^2 \beta$

                                              $\Rightarrow \cos^2 \beta -\cos^2\alpha = \cos^2\gamma - \cos^2 \beta$

                                              $\Rightarrow \dfrac{1}{1+\tan^2\beta}-\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}=\dfrac{1}{1+\tan^2 \gamma} - \dfrac{1}{1+\tan^2\beta}    $

                                              $\Rightarrow \dfrac{2}{1+\tan^2\beta} = \dfrac{1}{1+\tan^2\gamma-\frac{1}{1+\tan^2\alpha} } $

Suy ra $\tan^2\beta=2.\dfrac{1+\tan^2\alpha+\tan^2\gamma+\tan^2\alpha. \tan^2 \gamma}{2+\tan^2\alpha+\tan^2\gamma}-1                 (1)$

Do $\tan\alpha. \tan \gamma =1$ nên $(1)$ trở thành: $\tan^2 \beta=1$ hay $\tan^2\beta=\tan \alpha. \tan \gamma$

$\Leftrightarrow \div\div   \tan\alpha, \tan\beta, \tan\gamma$   (đpcm)

Bài 107334

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107334

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan