Bài 107567

Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn

$Oxy$ , đường thẳng

$d_{\alpha}$ có phương trình :

$xcos\alpha+ysin\alpha+2cos\alpha+1=0$ (

$\alpha$ là tham số)

$a.$ Chứng minh rằng khi

$\alpha$ thay đổi,

$d_{\alpha}$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

$b.$ Cho điểm

$M(-2;1)$ . Hạ

$HM$ vuông góc với

$d_{\alpha}$ (

$H\in d_{\alpha}$ ) kéo dài

$MH$ cho một đoạn

$HN=2MH$ . Tính tọa độ của

$N$ theo

$\alpha$

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi

$I(x_0;y_0)$ là điểm cố định thì khoảng cách từ điểm cố định đó đến đường thẳng

$d_{\alpha}$ là :

$d(I,d_{\alpha})=\frac{|x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha+2\cos\alpha+1|}{\sqrt{\cos ^2\alpha+\sin^2\alpha} }$

$d(I,d_{\alpha})=|(x_0+2)\cos\alpha+y_0\sin\alpha+1|$
Với

$x_0=-2$ và

$y_0=0\Rightarrow$ đường thẳng

$d_{\alpha}$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm

$(-2;0)$ và bán kính

$R=1$

$b.$ Đường thẳng qua

$M(-2;0)$ và vuông góc với

$d_{\alpha}$ có phương trình :

$\frac{x+2}{\cos \alpha}=\frac{y-1}{\sin\alpha}$

$\Leftrightarrow x\sin \alpha-y.\cos\alpha+2\sin\alpha+\cos\alpha=0$
Tọa độ

$H$ là nghiệm của hệ phương trình :

$\begin{cases}x\cos\alpha +y\sin\alpha+2\cos\alpha+1=0 \\ x\sin\alpha-y\cos\alpha+2\sin\alpha+\cos\alpha=0 \end{cases}$
Giải ra, ta được tọa độ của

$H$

$H(-2-\cos\alpha(1+\sin\alpha);\cos^2\alpha-\sin\alpha)$
Biết

$HN=2MH\Rightarrow HN=3MH\Rightarrow \overrightarrow {MN}=3\overrightarrow {MH}$
Gọi tọa độ của

$N$ là

$(x;y)$ ta có :

$\overrightarrow {MN}=(x+2;y-1)$

$\overrightarrow {MN}=(-2-\cos\alpha(1+\sin\alpha)+2;\cos^2\alpha-\sin\alpha)$

$=(-\cos\alpha(1+\sin\alpha);-\sin\alpha(1+\sin\alpha))$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}=3\overrightarrow {MH} \Rightarrow \begin{cases}x+2=-3\cos\alpha(1+\sin\alpha) \\ y-1=-3\sin\alpha(1+\sin\alpha) \end{cases}$
Vậy tọa độ của điểm

$N$ là

$\begin{cases}x=-2-3\cos\alpha(1+\sin\alpha) \\ y=1-3\sin\alpha(1+\sin\alpha) \end{cases}$

Bài 107567

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107567

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan