Bài 107573

Question

Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $\begin{cases}u_1=\frac{1}{2} \\ u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}u_n \forall n \geq 1 \end{cases} $
a) Chứng minh rằng dãy $(v_n)$ với $v_n=\frac{u_n}{n}, \forall n \geq 1 $ là một cấp số nhân.
b) Tìm công thức của $u_n$
c) Tính tổng $S=u_1+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+...+\frac{u_12}{12} $

score 0 · Answer 1

a) Từ hệ thức $u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}u_n $, ta có $\frac{u_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2}.\frac{u_n}{n}   $
hay $v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n \Rightarrow (v_n)$ là cấp số nhân, có công bội $q=\frac{1}{2} $ và $v_1=u_1=\frac{1}{2} $.
b) $\div\div (v_n) \Rightarrow v_n=v_1.q^{n-1}=\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1} =\frac{1}{2^n}   $
Vì $v_n=\frac{u_n}{n} $ theo giả thiết $\Rightarrow u_n=nv_n=\frac{n}{2_n} $
c) Ta có: $S=u_1+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+...+\frac{u_{12}}{12}=v_1+v_2+v_3+...+v_{12}   $
Do đó    $S=\frac{v_1(q_{12}-1)}{q-1} $ vì $q=\frac{1}{2}<1 $
nên $S=v_1 \frac{(1-q_{12})}{1-q}=\frac{1}{2}.\frac{1-\frac{1}{2^{12}} }{1-\frac{1}{\frac{1}{2} } }=\frac{2^{12}-1}{2^{12}}    $
ĐS: $S=\frac{4095}{4096} $

Bài 107573

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107573

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan