Bài 107654

Question

Cho $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ và theo thứ tự chúng lập thành một cấp số nhân với công bội $q=2$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{1}{sin \alpha}=\frac{1}{sin \beta}+\frac{1}{sin \gamma}$
b) $sin^2\alpha+sin^2\beta+sin^2\gamma=\frac{7}{4}$
c) $cos\alpha. cos\beta. cos\gamma =-\frac{1}{2^3}$

score 0 · Answer 1

Theo giả thiết, ta suy ra $\alpha=\frac{\pi}{7}, \beta= \frac{2\pi}{7}, \gamma=\frac{4\pi}{7}   $
a) $\frac{1}{sin\alpha}=\frac{1}{sin\beta}+\frac{1}{sin\gamma} (1) \Leftrightarrow   \frac{1}{sin \frac{\pi}{7} }=\frac{1}{sin \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{sin \frac{4\pi}{7} }$
Vì   $\frac{1}{sin \frac{2\pi}{7} }+\frac{1}{sin \frac{4\pi}{7} }=\frac{2sin {\frac{3\pi}{7} }cos \frac{\pi}{7} }{2sin \frac{\pi}{7} coc \frac{\pi}{7}sin \frac{4\pi}{7}}=\frac{1}{sin \frac{\pi}{7}}$
Vậy $(1)$ được chứng minh.
b) $sin^2\alpha + sin^2 \beta + sin^2\gamma = \frac{1-cos \frac{2\pi}{7 }}{2}+ \frac{1-cos \frac{4\pi}{7} }{2} +\frac{1-cos \frac{8\pi}{7} }{2}$
           $ \Leftrightarrow   sin^2\alpha+sin^2 \beta + sin^2\gamma =\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left ( cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}\right )     (1)$
Chú ý: $cos \alpha=cos(2\pi-\alpha)$
Đặt $S=cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+ cos \frac{6\pi}{7}   $
           $\Rightarrow 2Ssin \frac{\pi}{7}=sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}+ sin \frac{5\pi}{7} - sin \frac{3\pi}{7}+ sin \frac\pi- sin \frac{5\pi}{7}= - sin \frac{\pi}{7}      $
Vậy $S=-\frac{1}{2}$. Do đó $(1)$ là : $sin^2\alpha + sin^2 \beta + sin^2\gamma=\frac{7}{4} $ (đpcm).
c) $cos\alpha. cos \beta. cos \gamma = cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}= \frac{8sin \frac{\pi}{7} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7 } } $
Áp dụng $sin {2\alpha}=2sin\alpha cos\alpha$, ta có:
$cos \alpha cos\beta cos \gamma=\frac{sin \frac{8\pi}{7} }{8sin \frac{\pi}{7} } =-\frac{1}{8}=- \frac{1}{2^3} $(đpcm)

Bài 107654

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107654

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan