Bài 107729

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đề các vuông góc

$Oxy$ cho elip

$(E): \frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{4} =1$ và hai đường thẳng :

$d :ax-by=0; d':bx+ay=0$ với

$a^2+b^2>0$ . Gọi

$M,N$ là các giao điểm của

$d$ với

$(E)$ . Gọi

$P,Q$ là các giao điểm của

$d'$ với

$(E)$

$a.$ Tính diện tích tứ giác

$MNPQ$ theo

$a,b$

$b.$ Tìm điều kiện đối với

$a,b$ để diện tích tứ giác

$MNPQ$ nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

$a.$ Xét hai trường hợp :
-Với

$a,b=0\Rightarrow d,d'$ trùng với các trục tọa độ

$\Rightarrow S_{MNPQ}=4.3=12$ (đvdt)
- Với

$a,b\neq 0$ và

$k=\frac{a}{b} \neq 0$
Đường thẳng

$d:y=kx$ ; đường thẳng

$d':y=-\frac{1}{k}x$

$M$ là giao điểm của

$d$ và

$(E)\Rightarrow x_M^2+9k^2x_M^2=36\Rightarrow x_M^2=\frac{36}{4+9k}$
Ta có :

$OM=\sqrt{x_M^2+y_M^2}=\sqrt{x_M^2(1+k^2)}=\frac{6(\sqrt{1+k^2} )}{\sqrt{4+9k^2} }$
Tương tự ta tính được

$OP=\frac{6\sqrt{1+k^2} }{\sqrt{4k^2+9} }$
Diện tích tứ giác

$MNPQ :$

$S_{MNPQ}=2OM.OP=\frac{72(1+k^2)}{\sqrt{(4+9k^2)(4k^2+9)} } =\frac{72(a^2+b^2)}{\sqrt{(4b^2+9a^2)(4a^2+9b^2)} }$

$b.$ Ta có :

$\frac{1}{OM^2} +\frac{1}{OP^2} =\frac{4+9k^2}{36(1+k^2)} +\frac{9+4k^2}{36(1+k^2)} =\frac{13}{36}$
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :

$\frac{1}{OM^2} +\frac{1}{OP^2} \geq \frac{2}{OM.OP}=\frac{4}{S_{MNPQ}}$

$\Rightarrow \frac{13}{36} \geq \frac{4}{S} \Leftrightarrow S_{MNPQ}\geq \frac{144}{13}$ (đvdt)
Khi đó :

$\frac{1}{OM^2} =\frac{1}{OP^2} \Leftrightarrow OM^2=OP^2\Leftrightarrow k^2=1\Leftrightarrow |a|=|b|\neq 0$

1 Đáp án