Bài 107992

Question

Cho hình vuông

$ABCD$ có

$E$ là trung điểm của

$BC,M$ là di động trên cạnh

$AB$ . Gọi

$N,P$ lần lượt là giao điểm của

$MD,MC$ với

$AE.$ Gọi

$H$ là giao điểm của

$NC,DP;I$ là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng

$DH$ với đường thẳng vuông góc với

$AH$ tại

$H$ . Chứng minh rằng khi

$M$ di động trên cạnh

$AB$ thi

$I$ di động trên một đường cố định

score 0 · Answer 1

Xét hệ trục tọa độ đề các vuông góc

$Oxy$ sao cho :

$A(0;0),B(1;0),C(1;1)$
Khi đó

$E(1;\frac{1}{2} ),M$ là điểm di động trên cạnh

$AB$ nên

$M(m;0)$
Ta có :

$AE: x-2y=0$

$DM : \frac{x}{m}+\frac{y}{1} =1\Leftrightarrow x+my-m=0$

$CM : \frac{x-1}{m-1} =\frac{y-1}{0-1} \Leftrightarrow x+(m-1)y-m=0$

$N=AE\cap MD\Rightarrow N(\frac{2m}{m+2};\frac{m}{m+2} )$

$P=AE\cap MC\Rightarrow P(\frac{2m}{m+1};\frac{m}{m+1} )$
Ta có :

$DP :\frac{x-0}{\frac{2m}{m+1} }=\frac{y-1}{\frac{m}{m+1}-1 } \Rightarrow DP :x+2my-2m=0$

$NC :\frac{x-1}{\frac{2m}{m+2}-1 } =\frac{y-1}{\frac{m}{m+2}-1 } \Rightarrow NC : 2x+(m-2)y-m=0$
Vì

$H=DP\cap NC\Rightarrow H(\frac{4m}{3m+2};\frac{3m}{3m+2} )\Rightarrow H\in d: 3x-4y=0$ cố định. (

$d$ chính là đường thẳng chứa

$A,H$ )
Theo giả thiết ta có :

$ID=IH=d(I,d)$ (Do

$IH \bot AH$ )

$\Rightarrow I$ thuộc đường parabol

$(P)$ có tiêu điểm là

$D$ và đường chuẩn là đường thẳng

$d: 3x-4y=0$

1 Đáp án