Bài 107992

Question

Cho hình vuông $ABCD$ có $E$ là trung điểm của $BC,M$ là di động trên cạnh $AB$. Gọi $N,P$ lần lượt là giao điểm của $MD,MC$ với $AE.$ Gọi $H$ là giao điểm của $NC,DP;I$ là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng $DH$ với đường thẳng vuông góc với $AH$ tại $H$. Chứng minh rằng khi $M$ di động trên cạnh $AB$ thi $I$ di động trên một đường cố định

score 0 · Answer 1

Xét hệ trục tọa độ đề các vuông góc $Oxy$ sao cho :
$A(0;0),B(1;0),C(1;1)$
Khi đó $E(1;\frac{1}{2} ),M$ là điểm di động trên cạnh $AB$ nên $M(m;0)$
Ta có : $AE: x-2y=0$
$DM : \frac{x}{m}+\frac{y}{1} =1\Leftrightarrow x+my-m=0$
$CM : \frac{x-1}{m-1} =\frac{y-1}{0-1} \Leftrightarrow x+(m-1)y-m=0$
$N=AE\cap MD\Rightarrow N(\frac{2m}{m+2};\frac{m}{m+2} )$
$P=AE\cap MC\Rightarrow P(\frac{2m}{m+1};\frac{m}{m+1} )$
Ta có :
$DP :\frac{x-0}{\frac{2m}{m+1} }=\frac{y-1}{\frac{m}{m+1}-1 } \Rightarrow DP :x+2my-2m=0$
$NC :\frac{x-1}{\frac{2m}{m+2}-1 } =\frac{y-1}{\frac{m}{m+2}-1 } \Rightarrow NC : 2x+(m-2)y-m=0$
Vì $H=DP\cap NC\Rightarrow H(\frac{4m}{3m+2};\frac{3m}{3m+2} )\Rightarrow H\in d: 3x-4y=0$ cố định. ($d$ chính là đường thẳng chứa $A,H$)
Theo giả thiết ta có : $ID=IH=d(I,d)$ (Do $IH \bot AH$) $\Rightarrow I$ thuộc đường parabol $(P)$ có tiêu điểm là $D$ và đường chuẩn là đường thẳng $d: 3x-4y=0$

Bài 107992

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107992

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan