Bài 108089

Question

$a.$ Cho elip

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4} =1$ .Hãy chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm của elip tới một tiếp tuyến bất kỳ của nó là một hằng số

$b.$ Hãy viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của elip đã cho với elip

$\frac{x^2}{16} +y^2=1$

score 0 · Answer 1

$a. (E): \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4} =1$ có tiêu điểm

$F_1(-\sqrt{5};0 ),F_2(\sqrt{5} ;0)$
Phương trình tiếp tuyến

$\Delta$ của elip tại điểm

$(x_0;y_0)$ thuộc

$(E)$ là :

$\frac{x_0}{9}x+\frac{y_0}{4}y=1$ hay

$\frac{x_0}{9} x+\frac{y_0}{4}y-1=0$
Khoảng cách

$d_1$ từ

$F_1$ đến đường thẳng

$\Delta$ là :

$d_1=\frac{|-\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}-1 |}{\sqrt{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } =\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9} +1|}{\sqrt{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } }$
Khoảng cách

$d_2$ từ

$F_2$ đến đường thẳng

$\Delta$ là :

$d_2=\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}-1 |}{\sqrt{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } }$
Suy ra

$d_1d_2=\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}+1 |}{\sqrt{{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } } =\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}-1 |}{\sqrt{{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } }$
Biết

$\frac{y_0^2}{4} =1-\frac{x_0^2}{9}$ nên

$d_1d_2=\frac{|\frac{5x_0 }{9}-1 |}{|\frac{x_0^2}{9^2}+\frac{1}{4}(1-\frac{x_0^2}{9} ) |}=\frac{|\frac{5x_0 }{9}-1 |}{|\frac{1}{4}-\frac{5}{4}.\frac{x_0^2}{9^2} |}=\frac{|\frac{5x_0 }{9}-1 |}{\frac{1}{4} |(1-\frac{5}{9^2} x_0^2) |}=4$ (hằng số) (đpcm)

$b.$ các giao điểm của hai elip là nghiệm của hệ :

$\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4} =1 \\ \frac{x^2}{16} +y^2=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{4x^2}{9}+y^2=4 (1) \\ \frac{x^2}{16} +y^2= 1 (2)\end{cases}$
- tìm giao điểm

$A$ ứng với

$x>0,y>0$ Trừ

$(1)$ và

$(2)$ ta được :

$\frac{4x^2}{9}-\frac{x^2}{16} =3\Leftrightarrow x_A=\frac{12\sqrt{3} }{\sqrt{55} }$
Suy ra

$y^2=1-\frac{x^2}{16} =1-\frac{1}{16} .\frac{12^2.3}{55}=\frac{28}{55} \Rightarrow y_A=\frac{\sqrt{28} }{\sqrt{55} }$
Do tính đối xứng nên bốn giao điểm cách đều gốc tọa độ
Ta có :