Bài 108217

Question

Cho đường tròn tâm

$O$ bán kính bằng

$a$ , có hai đường kính vuông góc với nhau là

$AB,CD$ . Trên tia

$CD$ lây hai điểm

$M,N$ sao cho

$\overrightarrow {CN}=\overrightarrow {OM}$ . Đường thẳng

$AM$ cắt đường tròn tại

$P$ .Hãy xem xét khi

$N$ thay đổi trên đoạn

$CO$ , tam giác

$ANP$ có vuông tại

$N$ không? Nếu tam giác

$ANP$ vuông thì khi đó điểm

$N$ nằm ở vị trí nào?

score 0 · Answer 1

Ta chọn hệ tọa độ đề các vuông góc

$Oxy$ sao cho

$O$ trùng với tâm

$O$ của đường tròn, trục

$Ox$ trùng với tia

$OB$ , trục

$Oy$ trùng với tia

$OC$ .
Đặt

$CN=OM=l$ với

$0\leq l\leq a$ .Ta có tọa độ các điểm :

$O(0;0),B(a;0),C(0;a),A(-a;0),N(0;a-l),M(0;l)$
Hệ số góc

$m$ của đường thẳng

$AN$ là :

$m=\frac{y_N-y_A}{x_N-x_A} =\frac{a-l}{a}$
Phương trình đường thẳng

$AM$ :

$\frac{x}{-a}+\frac{y}{-l} =1\Leftrightarrow lx+ay+al=0\Rightarrow x=-\frac{a(y+l)}{l}$
Tọa độ giao điểm của đường thẳng

$AM$ và đường tròn tâm

$O$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases}lx+ay+al=0 (1) \\ x^2+y^2=a^2 (2) \end{cases}$
Rút

$x$ từ

$(1)$ thay vào

$(2)$ ta có :

$\frac{a^2(y+l)^2}{l^2}+y^2=a^2\Leftrightarrow \frac{a^2(y^2+l^2+2ly)}{l^2}+y^2-a^2=0$

$\Leftrightarrow (a^2+l^2)y^2+2a^2ly=0\Leftrightarrow y[(a^2+l^2)y+2a^2l]=0\Rightarrow \begin{cases}y=0 \\ y=-\frac{2a^2l}{a^2+l^2} \end{cases}$
Với

$y=0$ ta tính được

$x=-a$ đây là tọa độ điểm

$A(-a;0)$
Với

$y_P=-\frac{2a^2l}{a^2+l^2}$ thay vào

$(1)$ ta tính được

$x_P=\frac{a(a^2-l^2)}{a^2+l^2}$
Hệ số góc

$k$ của đường thẳng

$NP:k=\frac{y_N-y_P}{x_N-x_P}=\frac{(a-l)(a^2+l^2)+2a^2l}{a(l^2-a^2)}$
Tam giác

$ANP$ vuông tại

$N\Leftrightarrow AN\bot NP\Leftrightarrow k.m=-1\Leftrightarrow k=-\frac{1}{m}$
Vậy

$AN\bot NP\Leftrightarrow \frac{(a-l)(a^2+l^2)+2a^2l}{a(l^2-a^2)} =\frac{-a}{a-l} \Leftrightarrow (a-1)^2.l^2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}l=0\\l=a\end{array} \right.$
Do đó tam giác

$ANP$ vuông tại

$N$ khi

$N\equiv C, N\equiv O$ .Các trường hợp khác

$\Delta ANP$ không vuông tại

$N$

Bài 108217

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108217

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan