Bài 108412

Question

Cho hình chóp tam giác

$S.ABC$ , đáy là tam giác vuông cân tại

$B$ , trong đó

$AB=BC=2a$ . Giả sử hai mặt phẳng

$(SAB),(SAC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng

$(ABC)$ . Gọi

$M$ là trung điểm của

$AB$ . Mặt phẳng qua

$SM$ và song song với

$BC$ cắt

$AC$ tại

$N$ . Biết rằng hai mặt phẳng

$(SBC),(ABC)$ tạo với nhau một góc

$60^0$ . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

$AB,SN$ theo

$a$

score 0 · Answer 1

Dễ thấy

$SA \bot (ABC)$ và

$\widehat{SBA}$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng

$(SBC),(ABC)\Rightarrow \widehat{SBA}=60^0$
Kẻ

$NK//AB$ , khi đó

$K$ là trung điểm

$BC$ .
Ta có:

$AB//NK \Rightarrow AB //(SNK)$
Vì thế

$d(AB,SN)=d(AB,(SNK))=d(M,(SNK)) (1)$
Do

$S_{MBK}=S_{MNK}=S_{NKC}\Rightarrow S_{MNK}=\frac{1}{3}S_{BMNC}$

$\Rightarrow V_{S.MNK}=\frac{1}{3}V_{S.BCMN} (2)$
Dễ dàng tính được

$V_{S.BCMN}=a^3\sqrt{3}$
Nên từ

$(2)$ ta có:

$V_{S.MNK}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3} =V_{M.SNK}$
Mà

$V_{M.SNK}=\frac{1}{3}h.S_{SNK}$ , ở đây

$h=d(M,(SNK))$
Nên suy ra

$h=\frac{3V_{M.SNK}}{S_{SNK}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{S_{SNK}} (3)$
kẻ

$AH \bot NK \Rightarrow AH=BK=\frac{1}{2}BC=a$ .

Theo định lí ba đường vuông góc ta có

$SH \bot NK$ .
Ta có:

$SH=\sqrt{SA^2+AH^2}=\sqrt{12a^2+a^2}=a\sqrt{13}$
Vì thế

$S_{SNK}=\frac{1}{2}NK.SH=\frac{1}{2}a^2\sqrt{13} (4)$
Từ

$(3),(4)$ suy ra

$h=\frac{a^3\sqrt{3}}{\frac{a^2}{2}\sqrt{13}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$ .

1 Đáp án