Bài 108645

Question

Trên hai mặt phẳng

$(P)$ và

$(P')$ song song nhau, ta vẽ tương ứng hai đường tròn

$(O, R)$ và

$(O', R')$ , với

$OO'\bot (P)$ . Gọi

$OA$ và

$O'B$ theo thứ tự là hai bán kính của hai đường tròn trên sao cho

$OA\bot OB$ . Cho

$OO'=h$ .
a) Vẽ đường vuông góc chung của

$AB$ và

$OO'$ .
b) Chứng minh đường vuông góc chung này qua một điểm cố định. Hãy tìm quỹ tích đầu mút di động của đoạn vuông góc chung này.

phuongna · Answer 1 · 6/19/2012 11:26:38 AM

a) Vẽ

$A'A\parallel O'O ( A' \in (P'))$ thì

$A'A\bot (P')$ nên

$A'A\bot O'I$ . Vẽ

$O'I\bot A'B(I\in A'B)$ , ta suy ra

$O'I\bot$ mp

$(ABA')$ nên

$O'I\bot A'B$ . Vẽ

$IJ\parallel A'A(J\in AB)$ và

$JK\parallel O'I(K\in O'O)$ , suy ra

$KJ\bot AB$ và

$KJ\bot O'O$ . Vậy

$KJ$ là đoạn vuông góc chung của

$AB$ và

$O'O$ .

b) Để ý rằng

$OA, JK, O'B$ nằm trên

$3$ mặt phắng song song với nhau

$\frac{KO}{KO'}=\frac{JA}{JB}=\frac{IA'}{IB}. (1)$
Bây giờ, vì

$O'A'\parallel OA$ nên

$O'A'\bot OB$ . Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

$BO'A'$ , đường cao

$O'I$ , ta được

$OA'^2=A'I.A'B; O'B^2=BI.BA' (2)$
Kết hợp

$(1)$ và

$(2)$ ta suy ra

$\frac{KO}{KO'}=\frac{IA'}{IB}=\frac{OA'^2}{OB^2}=\frac{R^2}{R'^2} .$
Điều này chứng tỏ rằng

$K$ cố định.
Vậy đường vuông góc chung

$KJ$ đi qua điểm

$K$ cố định.
Tiếp theo, ta tìm quỹ tích của điểm

$J$ . Ta có

$KJ=O'I=\frac{O'A'.O'B}{A'B}=\frac{O'A'.O'B'}{\sqrt{O'A'^2+O'B'^2} }=\frac{RR'}{\sqrt{R^2+R'^2} },$
suy ra quỹ tích của

$J$ là đường tròn tâm

$K$ , bán kính

$\frac{RR'}{\sqrt{R^2+R'^2} }$ , nằm trong mặt phẳng qua

$K$ và vuông góc với

$O'O$ .

Bài 108645

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108645

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan