a)
$\sin x + 2\sin x \cos x =0$
$\Leftrightarrow \sin x \left( 1+ 2 \cos x \right) =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x =0 \\ 1+2 \cos x =0 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= k\pi \\ \cos x = -\frac{ 1}{2}(*) \end{array} \right. $
$(*)\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{ 2 \pi}{3} \Rightarrow x= \pm \frac{ 2\pi}{3}+k\pi $
Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l} x=k\pi\\ x=\pm \frac{ 2\pi}{3}+k\pi \end{array} \right.(k\in Z)$
b)
$\cos 5x +\cos 2x \cos 5x =0$
$\Leftrightarrow \cos 5x \left( 1+ \cos x 2x \right) =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 5x =0 \\ 1+ \cos 2x =0 \end{array} \right. $
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x= \frac{ \pi}{10}+\frac{ k\pi}{5} \\ \cos 2x =-1 (*)\end{array} \right. $
$(*) \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \pi \Rightarrow x=\pm \frac{ \pi}{2}+k2\pi $
Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{ \pi}{10}+\frac{ k\pi}{5}\\x=\pm \frac{ \pi}{2}+k2\pi \end{array} \right.(k\in Z)$
c)
$\cot x - \cos x=1 -\sin x$
Điều kiện: $\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq k\pi (k \in Z)$
Khi đó phương trình đã cho $\Leftrightarrow \frac{ \cos x }{ \sin x }- \cos x = 1- \sin x \Leftrightarrow \frac{ \cos x \left(1- \sin x \right) }{ \sin x }- \left( 1- \sin x \right)=0 $
$\Leftrightarrow \left( 1- \sin x \right) \left( \cot x-1 \right) =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =1 \\ \cot x=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x= \frac{ \pi}{2}+k2\pi \\ x=\frac{ \pi}{4}+ k\pi \end{array} \right. (k \in Z)$
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x= \frac{ \pi}{2}+k2\pi \\ x=\frac{ \pi}{4}+ k\pi \end{array} \right.(k\in Z)$
d)
$1+ \sin x \cos 3x+\sin x+\cos 3x=0 $
$\Leftrightarrow \left( 1+ \sin x \right) \left( 1+ \cos 3x \right) =0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x =-1 \\ \cos 3x=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= -\frac{ \pi}{2} +k2\pi \\ x= \pm \frac{ \pi}{3}+ k \frac{ 2\pi}{3} \end{array} \right. $
Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x= -\frac{ \pi}{2} +k2\pi \\ x= \pm \frac{ \pi}{3}+ k \frac{ 2\pi}{3} \end{array} \right.(k\in Z)$