Bài 108930

Question

Giải phương trình
a)    $3\cos x – 4 \sin x =5$
b)    $5 \cos 2x + 3 \sin 2x =6$
c)    $ 4 \sin 2x - \cos 2x =-4$
d)    $3 \sin x +7 \cos x =3$

score 0 · Answer 1

a) $3\cos x – 4 \sin x =5$
Điều kiện cần và đủ để phương trình $a \cos x + b \sin x +c=0$ có nghiệm là $a^{2} + b^{2} – c^{2} \geq 0$. Nếu điều kiện này không thỏa mãn thì phương trình vô nghiệm.
$\sqrt{ 3^{2}+4^{2}}=5$. Đặt $\frac{ 3}{5}= \cos \alpha , \frac{ 4}{5}= \sin \alpha $
Chia cả hai vế của (a) cho $5$ và biến đổi ta được phương trình :
$ \cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x =1 \Leftrightarrow \cos \left(\alpha +x\right) =1 = \cos 0 $
$\Rightarrow \alpha + x = k 2 \pi \Leftrightarrow x =- \alpha +k2 \pi(k\in Z)$

b) $5 \cos 2x + 3 \sin 2x =6$
Ta có $a^{2} + b^{2} – c^{2} = 25 +9- 36=-2 <0$, vậy phương trình vô nghiệm.

c) $a^{2} + b^{2} – c^{2} =4^2+(-1)^2-(-4)^2=1> 0$ nên phương trình có nghiệm.
Phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{4}{\sqrt{17}}sin2x+\frac{-1}{\sqrt{17}}cos2x=\frac{-4}{\sqrt{17}}$
Đặt $\frac{4}{\sqrt{17}}=\sin\alpha ; \frac{-1}{\sqrt{17}}=cos\alpha\Rightarrow \frac{-4}{\sqrt{17}}=\sin(-\alpha)$
$\Rightarrow sin\alpha\sin2x+\cos\alpha\cos2x=sin(-\alpha)$
$\Leftrightarrow cos(2x-\alpha)=cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\alpha=\frac{\pi}{2}+\alpha+k2\pi\\ 2x-\alpha=-\frac{\pi}{2}-\alpha+k2\pi \end{array} \right.(k\in Z)$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+\alpha+k\pi\\ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \end{array} \right.(k\in Z)$

d) Phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{3}{\sqrt{3^2+7^2}}\sin x+\frac{7}{\sqrt{3^2+7^2}}\cos x=\frac{3}{\sqrt{3^2+7^2}}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{58}}\sin x+\frac{7}{\sqrt{58}}\cos x=\frac{3}{\sqrt{58}}$.
Đặt $ \frac{3}{\sqrt{58}} =\sin\alpha ; \frac{7}{\sqrt{58}} =\cos\alpha$
Phương trình đã cho trở thành $\sin\alpha\sin x+\cos\alpha\cos x=\sin\alpha$
$\Leftrightarrow \cos(x-\alpha)=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)$
$\Leftrightarrow x-\alpha=\pm (\frac{\pi}{2}-\alpha)+k2\pi$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ x=2\alpha-\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{array} \right.(k\in Z)$

Bài 108930

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108930

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan