Bài 109315

Question

Cho họ đường cong:

$(C_m):x^2+y^2-(m+6)x-2(m-1)y+m+10=0 (1)$
a. Tìm

$m$ để

$(C_m)$ là một họ đường tròn. Tìm quỹ tích tâm

$I_m$
b. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn

$(C_m)$
c. Chứng minh rằng các đường tròn của họ

$(C_m)$ luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/22/2012 9:03:14 AM

a. Ta có:

$a^2+b^2-c=\frac{(m+6)^2}{4} +(m-1)^2-m-10=\frac{5m^2}{4}\geq 0 , \forall m$
Vậy với mọi giá trị của

$m$ phương trình

$(1)$ là phương trình của một đường tròn, có tâm

$I_m(\frac{m+6}{2};m-1 )$ bán kính

$R=\frac{\sqrt{5}|m| }{2}$
Quĩ tích tâm

$I_m:\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{m+6}{2} \\ y=m-1 \end{array} \right. (I)$
Khử

$m$ từ hệ

$(I)$ , ta được

$(d):2x-y-7=0$
Vậy tâm

$I_m$ của họ

$(C_m)$ thuộc đường thẳng

$(d): 2x-y-7=0$

b. Giả sử

$M(x;y)$ thuộc trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn

$(C_m)$

$\Leftrightarrow P_{M/(C_{m_1})}=P_{M/(C_{m_2})}, \forall m, m_2$ và

$m_1 \neq m_2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2-(m_1+6)x-2(m_1-1)y+m_1+10$

$=x^2+y^2-(m_2+6)x-2(m_2-1)y+m_2+10$

$\Leftrightarrow (m_1-m_2)(x+2y-1)=0 \forall m_1, m_2$ và

$m_1 \neq m_2$

$\Leftrightarrow x+2y-1=0$
Vậy, đường thẳng

$x+2y-1=0$ là trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn của họ

$(C_m)$

c. Giả sử

$M(x_0;y_0)$ là điểm cố định mà họ

$(C_m)$ luôn đi qua.

$\Leftrightarrow x^2+y^2-(m-6)x-2(m-1)y+m+10=0, \forall m$

$\Leftrightarrow m(-x-2y+1)+x^2+y^2-6x+2y+10=0, \forall m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -x-2y+1=0\\ x^2+y^2-6x+2y+10=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow M(3;-1)$
Vậy các đường tròn của họ

$(C_m)$ luôn tiếp xúc với nhau tại điểm cố định

$M(3;-1)$

Bài 109315

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109315

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan