Bài 109399

Question

Cho đường thẳng $(d):x-3y+5=0$ và đường tròn $(S):x^2+y^2=5$
1. Chứng tỏ rằng $(d)$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Tính độ dài $AB$
2.Lập phương trình đường tròn đi qua $M(2;-1)$ tiếp xúc với đường thẳng $(d)$ và:
a. Có bán kính bằng $\sqrt{10} $
b. Có bán kính nhỏ nhất
3. Lập phương trình đường tròn tâm $M(2;-1)$ và cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $E, F$ sao cho $EF=\sqrt{10} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/22/2012 3:05:14 PM

$1$. Xét hệ phương trình tạo bởi $(d)$ và $(S):$
$\left\{ \begin{array}{l} x-3y+5=0\\ x^2+y^2=5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3y-5\\ (3y-5)^2+y^2=5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3y-5\\ y^2-3y+2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}
x = 3y - 5\\
\left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A(-2;1)\\ B(1;2) \end{array} \right. \Rightarrow AB=\sqrt{(1+2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10} $
Vậy ta được $(d)\cap (S)={A(-2;1), B(1;2)}$ và $AB=\sqrt{10} $

$2$. Giả sử đường tròn $(C)$ có dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
$(C)$ tiếp xúc với $(d)$ khi và chỉ khi:
$d(I, (d))=R\Leftrightarrow R=\frac{|a-3b+5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2} } \Leftrightarrow |a-3b+5|=R\sqrt{10} (1)$
$(C)$ đi qua điểm $M$ khi và chỉ khi: $(2-a)^2+(-1-b)^2=R^2 (2)$

a. với giả thiết $R=\sqrt{10} $, ta được: $(1)\Leftrightarrow |a-3b+5=10|\Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
a - 3b + 5 = 10\\
a - 3b + 5 = - 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3b + 5\\
a = 3b - 15
\end{array} \right.$
Ta lần lượt xét:
- với $a=3b+5$ thì $(2)$ có dạng:
$(2-3b-5)^2+(-1-b)^2=10\Leftrightarrow (3b+3)^2+(b+1)^2=10$
$\Leftrightarrow (b+1)^2=1\Leftrightarrow b+1=\pm 1$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 0\,\, \Rightarrow a = 5\\
b = - 2\,\, \Rightarrow a = - 1
\end{array} \right.\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
({C_1}):{(x - 5)^2} + {y^2} = 10\\
({C_1}):{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 10
\end{array} \right.$
- Với $a=3b-15$ thì $(2)$ có dạng:
$(2-3b+15)^2+(-1-b)^2=10\Leftrightarrow (3b-17)^2+(b+1)^2=10$
$\Leftrightarrow 10b^2-100b+280=0\Leftrightarrow b^2-10b+28=0$, vô nghiệm.
Vậy tồn tại hai đường tròn $(C_1), (C_2)$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.

b. Với giả thiết $R$ nhỏ nhất, ta được:
$2R=d(M, (d))=\frac{|2-3(-1)+5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2} }=\frac{10}{\sqrt{10} } \Leftrightarrow R=\frac{5}{\sqrt{10} } $
Khí đó (1) có dạng: $|a-3b+5|=5\Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
a - 3b + 5 = 0\\
a - 3b + 5 = - 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3b\\
a = 3b - 10
\end{array} \right.$
Ta lần lượt xét:
- Với $a=3b$ thì $(2)$ có dạng:
$(2-3b)^2+(-1-b)^2=\frac{5}{2}\Leftrightarrow (3b-2)^2+(b+1)^2=\frac{5}{2} $
$\Leftrightarrow 20b^2-20b+5=0\Leftrightarrow 4b^2-4b+1=0\Leftrightarrow b=\frac{1}{2} \Rightarrow a=\frac{3}{2} $
Ta được đường tròn $(C):(x-\frac{3}{2} )^2+(y-\frac{1}{2} )^2=\frac{5}{2} $
- Với $a=3b-10$ thì $(2)$ có dạng:
$(2-3b+10)^2+(-1-b)^2=\frac{5}{2} \Leftrightarrow (3b-12)^2+(b+1)^2=\frac{5}{2} $
$\Leftrightarrow 20b^2-140b +285=0$ vô nghiệm
Vậy tồn tại một đường tròn $(C)$ thỏa mãn điều kiện đầu bài

3. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(d)$ thì $H$ là trung điểm $EF$ và $R^2=ME^2=EH^2+MH^2=\frac{EF^2}{4}+d^2(M, (d))=\frac{10}{4} +10=\frac{50}{4} $
Khi đó, đường tròn $(C)$ cần tìm có phương trình: $(C):(x-2)^2+(y+1)^2=\frac{50}{4} $

Bài 109399

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109399

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan