Bài 109472

Question

Cho hình thang vuông $ABCD$, có đường cao $AB$, cạnh đáy $AD=a, BC=2a.$ Hãy tính $AB$ trong các trường hợp sau:
a) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}^2 $ b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2 $
c) $\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{ID} =a^2 $ ($I$ là điểm giữa của $AB$).
d) Hình chiếu $\overrightarrow{A'C'} $ của $\overrightarrow{AC} $ lên $\overrightarrow{BD} $ ngược hướng với $\overrightarrow{BD}$ và có modun bằng $\frac{a}{2}. $

Kit Nguyen · Answer 1 · 6/25/2012 12:21:07 AM

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overline{AB}.\overline{AB}=AB^2=a^2    \Rightarrow      AB=a$ (công thức hình chiếu)

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=a^2 $
$\Leftrightarrow      (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} )(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} )=a^2$
$\Leftrightarrow      -AB^2+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=-a^2 $
$\Leftrightarrow      AB^2=a^2+2a^2=3a^2$
$\Leftrightarrow      AB=a \sqrt{3} $.

c) Ta có: $\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{ID}=a^2     \Leftrightarrow      (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD} )(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC} )=a^2$
$\Leftrightarrow    -IA^2+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=a^2     \Leftrightarrow     IA^2=2a^2-a^2=a^2$
$\Leftrightarrow    IA=a      \Leftrightarrow      AB=2a$.

d) Đặt   $AB=x>0$, ta có:   $BD=\sqrt{a^2+x^2} $
              $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=-AB^2+2a^2=2a^2-x^2 $ (theo câu b)
Theo giả thiết:   $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{BD}=-\frac{a}{2} \sqrt{a^2+x^2}      $
Vậy:    $2a^2-x^2=-\frac{a}{2}\sqrt{a^2+x^2}      \Leftrightarrow      \begin{cases}x> a \sqrt{2} \\ 16a^4+4x^4-16a^2x^2=a^4+a^2x^2 \end{cases} $
$\Leftrightarrow    \begin{cases}x>a \sqrt{2} \\ 4x^4-17a^2x^2+15a^4=0 \end{cases}     \Leftrightarrow     \begin{cases}x>a \sqrt{2} \\ x^2 \in \left\{ {3a^2, \frac{5a^2}{4} } \right\} \end{cases}      \Leftrightarrow      x=a \sqrt{3}. $

Bài 109472

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109472

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan