Bài 109589

Question

Cho đường thẳng $(d)$ và đường tròn $(S)$ có phương trình: $(d):x-y=0, (S):x^2+y^2-4x+2=0$
1. Chứng tỏ rằng $(d)$ tiếp xúc với $(S)$
2. Lập phương trình đường thẳng song song với $(d)$ và:
a) Tiếp xúc với $(S)$
b) Cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $AB=2\sqrt{2} $
3. Lập phương trình đường thẳng tạo với $(d)$ một góc $45^0$ và tiếp xúc với $(S)$
4. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng $R'=\frac{1}{\sqrt{2} } $, tiếp xúc với $(d)$ và $(S)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/26/2012 2:11:34 PM

Đường tròn $(S)$ có tâm $I(2;0)$ và $R=\sqrt{2} $

$1$. Xét hệ phương trình tạo bởi $(S)$ và $(d)$
$\left\{ \begin{array}{l} x-y=0\\ x^2+y^2-4x+2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x\\ x^2+x^2-4x+2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=y=1$, nghiệm duy nhất
Vậy, ta được $(d)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $M(1;1)$

$2$. Đường thẳng $\Delta //(d)$ có phương trình $x-y+C=0$ với $C\neq 0$.
a) $(S)$ tiếp xúc với $\Delta $ khi và chỉ khi:
$d(I,(\Delta ))=R\Leftrightarrow \frac{|2-0+C|}{\sqrt{1^2+(-1)^2} }=\sqrt{2} \Leftrightarrow |C+2|=2\Leftrightarrow C=0 (loại)$ hoặc $C=-4$
Vậy, ta được đường thẳng $(\Delta ):x-y-4=0$
b) Nhận xét rằng $AB=2R$ nên đường thẳng $(\Delta )$ sẽ phải qua tâm $I$ của $(S)$, do đó: $2-0+C=0\Leftrightarrow C=-2\Rightarrow (\Delta ):x-y-2=0$

$3$. Vì $(d)$ là đường phân giác góc phần tư thứ nhất nên đường thẳng $(\Delta )$ cần dựng sẽ song song với các trục tọa độ.
Ta lần lượt:
- Nếu $(\Delta )$ song song với $Ox$ thì $(\Delta ):y-C=0$
Để $(\Delta )$ tiếp xúc với $(C)$ điều kiện là: $d(I, (\Delta ))=R\Leftrightarrow \frac{|0-C|}{\sqrt{1^2} }=\sqrt{2} \Leftrightarrow C=\pm \sqrt{2}\Rightarrow    $$\left[ \begin{array}{l}
({\Delta _1}) = y - \sqrt 2 = 0\\
({\Delta _2}) = y + \sqrt 2 = 0
\end{array} \right.$
- Nếu $(\Delta )$ song song với $Oy$ thì $(\Delta ):x-C=0$
Để $(\Delta )$ tiếp xúc với $(C)$ điều kiện là: $d(I, (\Delta ))=R\Leftrightarrow \frac{|2-C|}{\sqrt{1^2} }=\sqrt{2} \Leftrightarrow C=2\pm \sqrt{2}\Rightarrow    $$\left[ \begin{array}{l}
({\Delta _3}) = y -2+ \sqrt 2 = 0\\
({\Delta _4}) = y -2- \sqrt 2 = 0
\end{array} \right.$
Vậy, tồn tại bốn đường thẳng $(\Delta _1),(\Delta _2),(\Delta _3),(\Delta _4)$ thỏa mãn điều kiện đề bài

$4$. Giả sử đường tròn $(C)$ cần tìm có tâm $I(a;b)$ suy ra $(C)$ có phương trình:
$(C):(x-a)^2+(y-b)^2=\frac{1}{2} $
Ta lần lượt xét:

a. Để $(C)$ tiếp xúc với $(d)$ điều kiện là: $d(T,(d)) = R' \Leftrightarrow \frac{{|a - b|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow |a - b| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b + 1\\
a = b - 1
\end{array} \right.$

b. Để $(C)$ tiếp xúc với $(S)$ ta có hai khả năng:
+)   Khả năng $1$: $(C)$ tiếp xúc trong với $(S)$ khi và chỉ khi:
$IT=R-R'\Leftrightarrow \sqrt{(a-2)^2+b^2}=\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2} } \Leftrightarrow (a-2)^2+b^2=\frac{1}{2}      (1)$
Khi đó:
- Với $a=b+1$ thì $(1)$ có dạng:
$(b+1-2)^2+b^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 4b^2-4b+1=0\Leftrightarrow b=\frac{1}{2} \Rightarrow a=\frac{3}{2} $
Ta được đường tròn $(C_1):(x-\frac{3}{2} )^2+(y-\frac{1}{2} )^2=\frac{1}{2} $
- Với $a=b-1$ thì $(1)$ có dạng:
$(b-1-2)^2+b^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 4b^2-12n+17=0 $, vô nghiệm
+)    Khả năng $2$: $(C)$ tiếp xúc ngoài với $(S)$ khi và chỉ khi:
$IT=R+R'\Leftrightarrow \sqrt{(a-2)^2+b^2}=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2} }\Leftrightarrow (a-2)^2+b^2=\frac{9}{2}       (2)$
Khi đó:
- Với $a=b+1$ thì $(2)$ có dạng:
$(b+1-2)^2+b^2=\frac{9}{2} \Leftrightarrow 4b^2-4b-8=0\Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
b = - 1 \Rightarrow a = 0\\
b = 2 \Rightarrow a = 1
\end{array} \right.$
Ta được hai đường tròn: $(C_2):x^2+(y+1)^2=\frac{1}{2} $ và $(C_3):(x-1)^2+(y-2)^2=\frac{1}{2} $
- Với $a=b-1$ thì $(2)$ có dạng:
$(b-1-2)^2+b^2=\frac{9}{2} \Leftrightarrow 4b^2-12b+9=0\Leftrightarrow b=\frac{3}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{2} $
Ta được đường tròn $(C_4):(x-\frac{1}{2} )^2+(y-\frac{3}{2} )^2=\frac{1}{2} $
Vậy, tồn tại bốn đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3),(C_4)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 109589

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109589

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan