Bài 109620

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình thoi tâm

$O$ cạnh

$a.\widehat{ABC} =60^0,SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng

$(ABCD)$ .Gọi

$M$ là một điểm trên cạnh

$SB$

$a.$ Khi

$M$ là trung điểm của cạnh

$SB$ , tính diện tích của thiết diện của hình chóp

$S.ABCD$ với mặt phẳng

$(ADM)$

$b.$ Khi

$M$ di động trên cạnh

$SB$ .Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của

$S$ trên mặt phẳng

$(ADM)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có :

$\begin{cases}AD\in (ADM) và BC\in (SBC)\\AD//BC\\(ADM)\cap (SBC)=Mx \end{cases} \Rightarrow Mx//AD//BC$
và

$Mx$ cắt

$SC$ tại

$N$
Khi đó ta nhận được thiết diện

$AMND$ là hình thang .
Trong hình thang

$AMND$ hạ

$AK\bot MN$ ta được :

$S_{AMND}=\frac{1}{2} (AD+MN).AK (1)$

trong đó :
- Trong

$\Delta SBC$ có

$MN$ là đường trung bình nên :

$MN=\frac{1}{2} BC=\frac{a}{2}$
- Trong

$\Delta SAB$ vuông tại

$A$ có

$AM$ là trung tuyến thuộc cạnh huyển nên :

$AM=\frac{1}{2} SB=\frac{1}{2} \sqrt{SA^2+AB^2}=\frac{a\sqrt{2} }{2} (3)$
- Trong

$\Delta SAC$ vuông tại

$A$ có

$AN$ là trung tuyến thuộc cạnh huyền nên :

$AN=\frac{1}{2} SC=\frac{1}{2} \sqrt{SA^2+AC^2}=\frac{a\sqrt{2} }{2} (4)$
- Trong

$\Delta AMN$ cân tại

$A$ ta có:

$AK=\sqrt{AM^2-MK^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{16} } =\frac{a\sqrt{7} }{4} (5)$
Thay

$(2),(5)$ vào

$(1)$ ta được :

$S_{AMND}=\frac{1}{2} (a+\frac{a}{2} ).\frac{a\sqrt{7} }{4} =\frac{3a^2\sqrt{7} }{16}$

$b.$ Nhận thấy mặt phẳng

$ADM$ chứa đường thẳng

$AD$ cố định.Ta đi dựng mặt phẳng qua

$S$ và vuông góc với

$AD$ bằng nhận xét :

$AK\bot MN\Leftrightarrow AK\bot AD$
Khi đó :

$(SAK)\bot AD$ và

$(SAK)\cap (ADM)=AK$
Trong

$(SAK)$ hạ

$SH\bot AK$ thì

$H$ cũng là hình chiếu vuông góc của

$S$ trên

$(ADM)$
Trong

$(SAK)$ ta có :

$SH\bot AH\Leftrightarrow \widehat{SHA}=90^0$
nên

$H$ thuộc đường trong đường kính

$SA$ trong mặt phẳng

$(SAK)$
Hạn chế quĩ tích - Ban đọc tự làm

Bài 109620

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109620

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan