Bài 109739

Question

Cho họ Elip có phương trình:

$(E_m):y^2=2x-\frac{x^2}{m}$ với

$0<m<1$
a. Đưa phương trình của

$(E_m)$ về dạng chính tắc, từ đó xác định tọa độ tâm, tiêu điểm

$F_1, F_2$ và các đỉnh

$A_1, A_2$ của nó.
b. Tìm quỹ tích các đỉnh

$A_1, A_2$ của Elip khi

$m$ thay đổi
c. Tìm quỹ tích các tiêu điểm

$F_1, F_2$ của Elip khi

$m$ thay đổi

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/27/2012 11:01:09 AM

a. Chuyển phương trình của

$(E_m)$ về dạng:

$(E_m):\frac{(x-m)^2}{m^2}+\frac{y^2}{m} =1$
vì

$0<m<1\Rightarrow m^2<m$
Tịnh tiến hệ trục tọa độ

$Oxy$ tho vecto

$\overrightarrow{OI}$ với

$I(m;0)$ thành hệ trục

$IXY$ , với công thức đổi trục:

$\left\{ \begin{array}{l} X=x-m\\ Y=y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=X+m\\ y=Y \end{array} \right.$
Khi đó:

$(E):\frac{X^2}{m^2}+\frac{Y^2}{m}=1$ vì

$0<m<1\Rightarrow m^2<m$
Trong hệ trục

$IXY, (E)$ có các thuộc tính:
- Tâm

$I$
- Hai tiêu điểm

$F_1(-\sqrt{m-m^2};0 ), F_2(\sqrt{m-m^2};0 )$
- Hai đỉnh

$A_1(0;-\sqrt{m} ), A_2(0;\sqrt{m} )$
Do đó trong hệ trục

$Oxy, (E_m)$ có:
- Tâm

$I(m;0)$
- Hai tiêu điểm

$F_1(m;-\sqrt{m-m^2} ), F_2(m;\sqrt{m-m^2} )$
- Hai đỉnh

$A_1(m;-\sqrt{m} ), A_2(m;\sqrt{m} )$

b. Quĩ tích các đỉnh

$A_1, A_2$
- Quĩ tích điểm

$A_1:\left\{ \begin{array}{l} x=m\\ y=-\sqrt{m} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0<m<1 và y<0\\ y^2=x \end{array} \right.$
Vậy, quĩ tích điểm

$A_1$ của

$(E_m)$ thuộc phần đồ thị của Parabol

$(P):y^2=x$ với

$0<x<1$ và

$y<0$
- Tương tự quĩ tích đỉnh

$A_2$ thuộc phần đồ thị của Parabol:

$(P):y^2=x$ với

$0<x<1$ và

$y>0$

c. Quĩ tích các tiêu điểm

$F_1, F_2$
- Quĩ tích tiêu điểm

$F_1$

$\left\{ \begin{array}{l} x=m\\ y=-\sqrt{m-m^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0<x<1 và y<0\\ y^2=x-x^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0<x<1 và y<0\\ (x-\frac{1}{2} )^2+y^2=\frac{1}{4} \end{array} \right.$
Vậy quĩ tích tiêu điểm

$F_1$ của Elip khi

$m$ thay đổi thuộc đường tròn

$(c)$ có tâm

$O(\frac{1}{2};0 )$ , bán kính

$R=\frac{1}{2}$ với

$0<x<1$ và

$y<0$
Tương tự quĩ tích tiêu điểm

$F_2$ thuộc đường tròn

$(C)$ có tâm

$O(\frac{1}{2};0 )$ , bán kính

$R=\frac{1}{2}$ với

$0<x<1$ và