Bài 109775

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông tâm

$O$ cạnh bằng

$a,SA=a$ và vuông góc với

$(ABCD)$ .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :

$a) SB$ và

$AD d)SC$ và

$AD$

$b) SC$ và

$BD e) SB$ và

$AC$

$c) SB$ và

$CD$

score 0 · Answer 1

$a.$ Nhận xét rằng :

$AD\bot AB,$ vì

$ABCD$ là hình vuông

$AD\bot SA$ vì

$SA$ vuông góc với

$(ABCD)$
suy ra

$AD\bot (SAB)$
Dựng

$AM$ vuông góc với

$SB$ thì

$AM$ là đoạn vuông góc chung của

$SB,AD$
TRong

$\Delta SAB$ vuông cân tại

$A$ , ta có :

$AM=\frac{1}{2} SB=\frac{1}{2} \sqrt{SA^2+AB^2}=\frac{a\sqrt{2} }{2}$
Vậy khoảng cách giữa

$SB,AD$ bằng

$\frac{a\sqrt{2} }{2}$

$b.$ Nhận xét rằng :

$BD\bot AC$ vì

$ABCD$ là hình vuông

$BD\bot SA$ vì

$SA$ vuông góc với

$(ABCD)$
suy ra

$BD\bot (SAC)$
Dựng

$OH$ vuông góc với

$SC$ thì

$OH$ là đoạn vuông góc chung của

$SC,BD$
Nhận xét rằng

$\Delta HCO$ và

$\Delta ACS$ là hai tam giác vuông có chung góc nhọn

$C$ nên chúng đồng dạng suy ra :

$\frac{OH}{SA}=\frac{OC}{SC}\Rightarrow OH=\frac{SA.OC}{SC}$
trong đó :

$OC=\frac{1}{2} AC=\frac{a\sqrt{2} }{2}$

$SC^2=SA^2+AC^2=a^2+(a\sqrt{2} )^2=3a^2\Rightarrow SC=a\sqrt{3}$
suy ra :

$OH=\frac{a.\frac{a\sqrt{2} }{2} }{a\sqrt{3} } =\frac{a\sqrt{6} }{6}$
Vậy khoảng cách giữa

$SC,BD$ bằng

$\frac{a\sqrt{6} }{6}$

$c.$ Nhận xét rằng :

$CD//AB\Rightarrow CD//(SAB)$

$\Rightarrow d(CD,SC)=d(CD,(SAB))=d(D,(SAB))=DA=a$
Vậy khoảng cách giữa

$SB,CD$ bằng

$a$

$d.$ Nhận xét rằng :

$AD//BC\Rightarrow AD//(SBC)$

$\Rightarrow d(AD,BC)=d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))=AM=\frac{a\sqrt{2} }{2}$
Vậy khoảng cách giữa

$SC,AD$ bằng

$\frac{a\sqrt{2} }{2}$

$e.$ Dựng :

$Bx//AC\Rightarrow AC//(S,Bx)\Rightarrow d(AC,SB)=d(A,(S,Bx))$
Hạ

$AE$ vuông góc với

$Bx$ ta được :

$\begin{cases} Bx\bot AE\\Bx\bot SA\end{cases} \Rightarrow Bx\bot (S,Bx)\Rightarrow (S,Bx)\bot (SAE)$ và

$(S,Bx)\cap (SAE)=SE$
Hạ

$AE$ vuông góc với

$SE$ , ta có ngay

$AE\bot (S,Bx)$
VẬy

$AF$ là khoảng cách từ điểm

$A$ tới

$(S,Bx)$
Trong

$\Delta SAE$ vuông tại

$A$ ta có :

$AE=OB=\frac{a\sqrt{2} }{2}$

$\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{SA^2}+ \frac{1}{AE^2} =\frac{1}{a^2} +\frac{1}{(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2} =\frac{3}{a^2}\Rightarrow AF=\frac{a\sqrt{3} }{3}$
Vậy khỏang cách giữa

$SB,AC$ bằng

$\frac{a\sqrt{3} }{3}$

Bài 109775

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109775

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan