|
|
$a.$ Nhận xét rằng :
$AD\bot AB,$ vì $ABCD$ là hình vuông
$AD\bot SA$ vì $SA$ vuông góc với $(ABCD)$
suy ra $AD\bot (SAB)$
Dựng $AM$ vuông góc với $SB$ thì $AM$ là đoạn vuông góc chung của $SB,AD$
TRong $\Delta SAB$ vuông cân tại $A$, ta có :
$AM=\frac{1}{2} SB=\frac{1}{2} \sqrt{SA^2+AB^2}=\frac{a\sqrt{2} }{2} $
Vậy khoảng cách giữa $SB,AD$ bằng $\frac{a\sqrt{2} }{2} $
$b.$ Nhận xét rằng :
$BD\bot AC$ vì $ABCD$ là hình vuông
$BD\bot SA$ vì $SA$ vuông góc với $(ABCD)$
suy ra $BD\bot (SAC)$
Dựng $OH$ vuông góc với $SC$ thì $OH$ là đoạn vuông góc chung của $SC,BD$
Nhận xét rằng $\Delta HCO$ và $\Delta ACS$ là hai tam giác vuông có chung góc nhọn $C$ nên chúng đồng dạng suy ra :
$\frac{OH}{SA}=\frac{OC}{SC}\Rightarrow OH=\frac{SA.OC}{SC} $
trong đó :
$OC=\frac{1}{2} AC=\frac{a\sqrt{2} }{2} $
$SC^2=SA^2+AC^2=a^2+(a\sqrt{2} )^2=3a^2\Rightarrow SC=a\sqrt{3} $
suy ra :
$OH=\frac{a.\frac{a\sqrt{2} }{2} }{a\sqrt{3} } =\frac{a\sqrt{6} }{6} $
Vậy khoảng cách giữa $SC,BD$ bằng $\frac{a\sqrt{6} }{6} $
$c.$ Nhận xét rằng :
$CD//AB\Rightarrow CD//(SAB)$
$\Rightarrow d(CD,SC)=d(CD,(SAB))=d(D,(SAB))=DA=a$
Vậy khoảng cách giữa $SB,CD$ bằng $a$
$d.$ Nhận xét rằng :
$AD//BC\Rightarrow AD//(SBC)$
$\Rightarrow d(AD,BC)=d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))=AM=\frac{a\sqrt{2} }{2} $
Vậy khoảng cách giữa $SC,AD$ bằng $\frac{a\sqrt{2} }{2} $
$e.$ Dựng :
$Bx//AC\Rightarrow AC//(S,Bx)\Rightarrow d(AC,SB)=d(A,(S,Bx))$
Hạ $AE$ vuông góc với $Bx$ ta được :
$\begin{cases} Bx\bot AE\\Bx\bot SA\end{cases} \Rightarrow Bx\bot (S,Bx)\Rightarrow (S,Bx)\bot (SAE)$ và $(S,Bx)\cap (SAE)=SE$
Hạ $AE$ vuông góc với $SE$, ta có ngay $AE\bot (S,Bx)$
VẬy $AF$ là khoảng cách từ điểm $A$ tới $(S,Bx)$
Trong $\Delta SAE$ vuông tại $A$ ta có :
$AE=OB=\frac{a\sqrt{2} }{2} $
$\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{SA^2}+ \frac{1}{AE^2} =\frac{1}{a^2} +\frac{1}{(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2} =\frac{3}{a^2}\Rightarrow AF=\frac{a\sqrt{3} }{3} $
Vậy khỏang cách giữa $SB,AC$ bằng $\frac{a\sqrt{3} }{3} $
|