Bài 110551

Question

Cho hình chóp tứ giác

$S.ABCD$ đỉnh

$S$ đáy

$ABCD$ là hình thoi cạnh

$a$ tâm

$O$ góc nhọn

$\widehat{A}=60^0$ .Các cạnh bên

$SA=SC;SB=SD=a\sqrt{3}$

$a.$ Tính khoảng cách từ đỉnh

$S$ đến

$mp(ABCD)$

$b.$ Tính khoảng cách từ điểm

$O$ đến

$mp(SBC)$

$c.$ Tính khoảng cách giữa các đường thẳng

$SB,AD$

$d.$ Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng

$BD,SC$

score 0 · Answer 1

$a.$

$SA=SC\Rightarrow \Delta ASC$ cân đỉnh

$S\Rightarrow SO\bot AC$

$SB=SD\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh

$S\Rightarrow SO\bot BD$
Vậy

$SO\bot (ABCD)\Rightarrow SO$ là khoảng cách từ đỉnh

$S$ đến

$ABCD$
Ta có :

$OB=\frac{a}{2}$

$SO^2=SB^2-OB^2\Rightarrow SO^2=(a\sqrt{3} )^2-(\frac{a}{2} )^2$

$\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{11} }{2}$

$b.$ Từ

$O$ kẻ

$OI\bot BC$ ta có :

$\left.\begin{matrix}SO\bot (ABCD) \\OI\bot BC \end{matrix}\right\} \Rightarrow SI\bot BC$ (định lí

$3$ đường vuông góc )

$\left.\begin{matrix}SI\bot BC \\ OI\bot BC\end{matrix}\right\} \Rightarrow BC\bot (SOI)$

$\Rightarrow (SBC)\bot (SOI)$
Hai mặt phẳng

$(SOI),(SBC)$ vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến

$SI$ nên nếu từ

$O$ ta kẻ

$OK\bot SI$ thì

$OK\bot (SBC)$ suy ra

$OK$ là khoảng cách từ điểm

$O$ đến

$mp(SBC)$
Tam giác vuông

$SOI$ với

$SO=\frac{a\sqrt{11} }{2} ;OI=\frac{a\sqrt{3} }{2}$ ta tính được đường cao

$OK=\frac{\sqrt{33} a}{28}$

$c.$ Do

$BC//AD$ nên

$AD//(SBC)$ .Như vậy khoảng cách giữa

$AD$ và

$SB$ cũng bằng khoảng cách giữa

$AD$ và

$mp(SBC)$ và cũng bằng khoảng cách từ một điểm

$J$ thuộc

$AD$ đến

$mp(SBC)$ trong đó ta gọi

$J$ là giao điểm của

$IO$ với

$AD$
Ta có :

$IJ\bot BC\Rightarrow (ISJ)\bot (SBC)$
Từ

$J$ kẻ

$JF\bot SI\Rightarrow JF\bot (SBC)$
Hay

$JF$ là khoảng cách từ

$J$ đến

$mp(SBC)$
Trong tam giác

$IJF$ thì

$JF=2OK$ suy ra :

$JF=\frac{\sqrt{33} a}{4}$

$d.$ Trong tam giác

$SOC$ kẻ

$OE\bot SC (1)$
Ta có :

$DB\bot (SAC)\Rightarrow DB\bot OE (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$OE$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

$SC,DB$
Tam giác

$SOC$ có

$SO=\frac{a\sqrt{11} }{2} ; OC=\frac{a\sqrt{3} }{2}$
Nên đường cao

$OE$ có giá trị là :

$OE=\frac{\sqrt{33} }{28} a$

Bài 110551

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110551

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan