Bài 111051

Question

Tìm $a$ để hệ có nghiệm $(I) \begin{cases}5x^2+4xy+2y^2 \geq 3 (1) \\ 7x^2-4xy+2y^2 \leq \frac{2a-1}{2a+5} (2) \end{cases}$

score 0 · Answer 1

Viết lại $(2) \Leftrightarrow 7x^2-4xy+2y^2 \leq 1-\frac{6}{2a+5}         (3)$
Nhân bất phương trình $(3)$ với $-3$ có $(3) \Leftrightarrow -21x^2+12xy-6y^2 \geq -3+\frac{18}{2a+5}    (4)$
Cộng vế theo vế các bất phương trình $(1)$ và $(4)$ có
     $-4(2x-y)^2\geq \frac{18}{2a+5} \Leftrightarrow (2x-y)^2 \leq \frac{-9}{2(2a+5)}$
Bởi vậy: $(I) \Leftrightarrow (II) \begin{cases}5x^2+4xy+2y^2 \geq 3        (1) \\ (2x-y)^2 \leq \frac{-9}{2(2a+5)}       (5) \end{cases}$
* Điều kiện cần: Từ bất phương trình $(5)$ suy ra $2a+5<0 \Leftrightarrow a<-\frac{5}{2}     (6)$
* Điều kiện đủ: Ký hiệu $D=(-\infty;-\frac{5}{2})$
Xét hệ $(III) \begin{cases}5x^2+4xy+2y^2=3 \\ (2x-y)^2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}21x^2=3 \\ y=2x \end{cases} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(x=-\frac{1}{\sqrt{7}};y=-\frac{2}{\sqrt{7}})}\\
{(x=\frac{1}{\sqrt{7}};y=\frac{2}{\sqrt{7}})}
\end{array}} \right.   (7)$
Với mọi $a \in D$ ta có: $\begin{cases}3 \geq 3 \\ 0< \frac{-9}{2(2a+5)} \end{cases}$. Bởi vậy $(7)$ nghiệm hệ phương trình $(III)$ bắt nó vô nghiệm bất phương trình $(II)$ $\forall a \in D      (8)$
Từ $(6)$ và $(8)$ suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $a< -\frac{5}{2}$

Bài 111051

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111051

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan