Bài 111718

Question

a)

$A_n=\cos \frac{x}{2}. \cos \frac{x}{2^2}...\cos \frac{x}{2^n}$
b)

$P_n=(2\cos x-1)(2\cos 2x -1)(2\cos 4x-1)...(2\cos2^n x-1)$
c)

$S_n=\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+...+ \frac{1}{\sin 2^nx}$

score 0 · Answer 1

a) Ta có :

$\frac{\sin 2a}{2\sin a}=\cos a (1)$
Thay

$a$ trong

$(1)$ lần lượt

$\frac{x}{2}, \frac{x}{2^2},..., \frac{x}{2^n}$ . Ta nhân vế với vế các đẳng thức(dạng

$(1)$ ) đó và đơn giản ta được;

$A_n=\frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n} }$
b) Ta có:

$(2\cos a -1)(2\cos a+1)= 4\cos ^2 a -1 =2(1+\cos 2a)-1$

$=1+2\cos 2a$ , với

$1+2\cos 2a \neq 0$ khi

$a\neq \pm \frac{2\pi}{3}=k2\pi$
Do đó:

$2\cos a -1 = \frac{2\cos 2a+1}{2 \cos a+1} (1)$
Thay

$a$ lần lượt bằng

$x, 2x, ..., 2^{n-1}x, 2^n x$ vào

$(1)$ ta được

$n$ đẳng thức.
Nhân vế với vế

$n$ đẳng thức ấy và đơn giản, ta sẽ được:

$P_n=\frac{2\cos 2^{n-1}x+1}{2\cos x+1}$ với

$x\neq \pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi$
c) Ta có:

$\frac{1}{\sin 2a}=\cot a -\cot 2a (1)$
(Chứng minh (1) hết sức dễ dàng)
Thay

$a$ lần lượt bằng

$x, 2x, ..., 2^{n-1} x$ vào (1) ta được

$n$ đẳng thức. Cộng vế với vế

$n$ đẳng thức đó và đơn giản, ta sẽ được:

$S_n=\cot x - \cot 2^n x$

1 Đáp án