Bài 111809

Question

Tìm $a$ để phương trình $\sin ^6 x + \cos ^6 x =a |\sin2x | (1)$ có nghiệm

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/13/2012 10:47:19 AM

Biến đổi $\sin ^6 x + \cos ^6 x = 1- \frac{ 3}{ 4} \sin^2 2x$
Vậy phương trình $(1)$ có dạng $1-\frac{ 3}{ 4}|\sin 2x|^2 = a |\sin 2x|$
Cách 1: Đặt $|\sin 2x| = t$ với mọi giá trị của $x $ thì $t \in [0;1]$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi phương trình : $1-\frac{ 3}{ 4} t^2 = at $
            $\Leftrightarrow 3 t^2 + 4at -4=0 (2)$ có ít nhất $1$ nghiệm $t \in [0;1]   (\alpha) $
Nhận xét : phương trình $(2)$ là bậc $2$ của $t $ có $\frac{ C}{ A} = -\frac{ 4}{ 3} < 0    \forall a$
Nên $\forall a $ phương trình $(2)$ luôn có $1$ nghiệm $t_{1} < 0 ; t _{1} \notin (\alpha )$
Vậy để $(2)$ có nghiệm $t \in (\alpha )$ thì $t_{2}= \frac{ -2a+\sqrt{4a^2 +12} }{ 3} \leq 1 ) $ ( vì $t_{2} > 0 )$
            $\Leftrightarrow \sqrt{4a^2 + 12} \leq 3 + 2a \Leftrightarrow \begin{cases}3+2a > 0 \\ 4a^2+12 \leq (3+2a)^2 \end{cases} \Leftrightarrow a \geq \frac{ 1}{ 4} $
Cách 2: $(1) \Leftrightarrow 1 - \frac{ 3}{ 4} |\sin 2x|^2 = a |\sin 2x|$ vì $\sin 2x =0$ không phải là
nghiệm nên $(1) \Leftrightarrow a = \frac{1 }{|\sin 2x| } - \frac{ 3}{ 4}|\sin 2x|= \frac{ 1}{|\sin 2x| } +|\sin 2x| - \frac{ 7}{ 4} |\sin 2x|$
Vì $|\sin 2x| \geq 0.$ Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được :
                     $|\sin 2x |+\frac{1 }{|\sin 2x| } \geq 2 \forall x (\sin 2x \neq 0)$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
                      $|\sin 2x |= \frac{ 1}{ |\sin 2x |} \Leftrightarrow |\sin 2x |= 1 \Leftrightarrow \cos 2x =0 \Leftrightarrow x = \frac{ \pi}{ 4} +\frac{ k\pi}{ 2} $
Do đó $|\sin 2x | + \frac{ 1}{ |\sin 2x|}-\frac{ 7}{ 4}|\sin 2x| \geq 2 -\frac{ 7}{ 4}|\sin 2x|   $
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{\pi}{ 4} +\frac{k\pi }{ 2} $
Mặt khác : $|\sin 2x | \leq 1$
                 $\Leftrightarrow -\frac{ 7}{ 4}|\sin 2x | \geq -\frac{ 7}{ 4} $   Dấu đẳng thức xảy ra   $\Leftrightarrow |\sin 2x | = 1$
nên          $|\sin 2x |+ \frac{1 }{|\sin 2x| } - \frac{7 }{ 4}|\sin 2x| \geq 2 - \frac{ 7}{ 4}= \frac{ 1}{ 4} $
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x= \frac{ \pi}{ 4} +\frac{k\pi }{ 2} $
Do đó phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi $a \geq \frac{ 1}{ 4} $
Cách 3: Làm như cách $1$. Phương trình $(2) \Leftrightarrow 3t^2 - 4 = -4at$
Do $t =0$ không phải là nghiệm của phương trình $(2)$
nên $(2) \Leftrightarrow \frac{3t^2 -4 }{ t} = -4a$
Dùng khảo sát hàm số $f (t) = \frac{ 3T62-4}{ t} $ liên tục trong $(0;1]$ cũng được kết quả giống cách $1.$

Bài 111809

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111809

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan