Bài 112221

Question

a) Cho $a<0<b,f : [a;b] \rightarrow [0;+\infty )$ liên tục ( có thể bằng $0$ tại một số hữu hạn điểm) Chứng minh rằng : $ \int\limits_{0}^{x}f(t)dt = 0 $ có nghiệm duy nhất $x=0$ trên $[a;b]$
b) Giải phương trình : $ 4x^3+12x-8-\cos 3x + 9 \cos x= 0$

score 0 · Answer 1

a) Xét $F(x) = \int\limits_{0}^{x}f(t)dt, x \in [a;b]$
Ta có : $F'(x) = f(x) \geq 0 , \forall x \in [a;b] $ ( dấu $"="$ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) $ \Rightarrow F$ là hàm tăng trên $[a;b]$
Hơn nữa: $ F(0)=0$
Như vậy phương trình $F(x) = \int\limits_{0}^{x}f(t)dt = 0$ có nghiệm duy nhất $ x=0$.

b) Xét $ f(x) = 12 (x^2+1 - \sin ^3x) x \in R$
Rõ ràng $\begin{cases}f liên tục trên R \\ f(x) \geq 0 , \forall x \in R \end{cases} $
$\Rightarrow$ Theo kết quả câu a), phương trình $ \int\limits_{0}^{x}f(t)dt = 0 $ có nghiệm duy nhất $x=0$
$ \int\limits_{0}^{x} f(t)dt = 12 \int\limits_{0}^{x} (t^2 + 1 - \sin ^3t)dt = 12 \int\limits_{0}^{x}\left ( t^2 + 1- \frac{3 \sin t - \sin 3t}{4} \right )dt$
                              $ = 12 \left ( \frac{t^3}{3} + t + \frac{3}{4}\cos t -\frac{\cos 3t}{12}\left| \begin{array}{l}
x\\
0
\end{array} \right.    \right ) $
                              $ = 4x^3 + 12x + 9(\cos x -1) -(\cos 3x-1)$
                              $ = 4x^3 + 12x - 8 - \cos 3x + 9 \cos x$
Vậy phương trình $4x^3 + 12x -8 - \cos 3x + 9 \cos x= 0 $ có nghiệm duy nhất $x=0$

Bài 112221

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112221

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc cao

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan