Bài 113012

Question

a) Với $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4};$hãy xác định các hằng số a,b sao cho :$ \frac{1}{\cos x} =\frac{a\cos x}{1-\sin x} +\frac{b\cos x}{1+\sin x} $
Dựa vào kết quả đó tính tích phân : $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{dx}{\cos x} $
b)Bằng cách viết : $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{dx}{\cos^3 x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{1}{\cos x}.\frac{dx}{\cos^2 x}$ và dùng phép lấy tích phân từng phần hãy tính J.

score 0 · Answer 1

a) Ta cos : $\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x [a(1+\sin x)+b(1-\sin x)]}{1-\sin^2 x} $
$\Rightarrow \frac{1}{\cos x}=\frac{(a+b)+(a-b)\sin x}{\cos x}\Rightarrow 1+0.\sin x=(a+b)+(1-b)\sin x     (*) $
Cần bằng hệ hai số của $(*)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+b =1\\ a-b =0 \end{array} \right. \Rightarrow a=b=\frac{1}{2} $
Lúc đó :
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{dx}{\cos x}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{\cos xdx}{1-\sin x}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{\cos xdx}{1+\sin x=\frac{1}{2} }\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{d(1+\sin x)}{1+\sin x}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{d(1-\sin x)}{1-\sin x}        $
$\Rightarrow I=\frac{1}{2}[\ln (1+\sin x)-\ln (1-\sin x)]_{0}^{\frac{\pi}{4} }=\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x}|_{0}^{\frac{\pi}{4} }=\frac{1}{2}\ln \frac{2+{\sqrt{2}} }{2-{\sqrt{2}} }     $
$=\ln ({\sqrt{2}} +1) (ycbt)$
b)Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u=\frac{1}{\cos x} \Rightarrow du=\frac{\sin xdx}{\cos^2 x} \\ dv=\frac{dx}{\cos^2 x} \Rightarrow v=\tan x \end{array} \right. $
Lúc đó : $J=\frac{\tan x}{\cos x}|_{0}^{\frac{\pi}{4} }-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{\sin^2 xdx}{\cos^3 x}={\sqrt{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }(\frac{1}{\cos^3 x} -\frac{1}{\cos x} )dx   $
$\Rightarrow J={\sqrt{2}}-J+I hay J=\frac{{\sqrt{2}} }{2} +\frac{1}{2} I $
Vậy : $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{dx}{\cos^3 x}=\frac{{\sqrt{2}} }{2}+\frac{1}{2}I=\frac{{\sqrt{2}} }{2} +\frac{1}{2} \ln ({\sqrt{2}} +1) (ycbt)$

Bài 113012

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113012

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân từng phần

Lý thuyết liên quan