Trong phương pháp này, ta sử dụng chủ yếu hai phép biến đổi sau :
\[ \sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)}=\frac{P(x)-Q(x)}{\sqrt{P(x)}\mp \sqrt{Q(x)}}\\ \sqrt[3]{P(x)}\pm \sqrt[3]{Q(x)}=\frac{P(x)\pm Q(x)}{\sqrt[3]{P^2(x)}\mp \sqrt[3]{P(x).Q(x)}+\sqrt[3]{Q^2(x)}}\]
Mặc dù vậy, với mỗi tình huống cụ thể, ta cần biến đổi linh hoạt các cách sử dụng.
Sau đây là ví dụ mở đầu cho dạng toán sử dụng phương pháp trên.
Ví dụ $0.$ Giải phương trình : \[\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}=2\]
Lời giải :
Chú ý rằng : $x^2\pm x+1=\left ( x \pm \frac{1}{2}\right )^2+\frac{3}{4} > 0 \forall x$, do đó điều kiện xác định là $x \in \mathbb{R}.$
Nhận thấy $x= 0$ là nghiệm của phương trình (PT).
Xét $x \ne 0$ thì $x^2-x+1 \ne x^2+x+1$
PT đã cho tương đương với :
$\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}=2\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=x$
Ta nhận được :
\[ \begin{cases}\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}=2 \\ \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=x \end{cases}\]
Suy ra :
$ 2\sqrt{x^2+x+1}=x+2\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge -2 \\4x^2+4x+4=x^2+4x+4 \end{cases}\Leftrightarrow x=0$
Với điều kiện $x \ne 0$ thì trong trường hợp này PT vô nghiệm.
Vậy tóm lại PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=0$.
Bằng cách đó ta có thể giải được các bài tập tương tự sau.
Giải các PT
$1$. $\sqrt{2x^2-x+1}+\sqrt{2x^2+x+9}=x+4$
$2$. $\sqrt{x^2+x+1}=2x+\sqrt{x^2-x+1}$
Tiếp đến, ta đến phần chính của bài viết là giải quyết dạng phương trình sau :
\[ A\sqrt[m]{P(x)}+ B\sqrt[n]{Q(x)}+R(x)=0\]
Trong đó $P(x), Q(x), R(x)$ là các đa thức có tối đa bậc ba; $A, B$ là các hằng số ; $m, n \in \left\{ {2; 3} \right\}$. Và $ P(x), Q(x) \ge 0$ trong trường hợp $m$ hoặc $n$ bằng $2$.
Ta quan tâm ở đây là PT trên có ít nhất một nghiệm "đẹp". Thường là nghiệm hữu tỷ, nó làm cho biểu thức dưới các dấu căn có giá trị hữu tỷ. Từ đó, giả sử đã nhẩm được một nghiệm "đẹp" $x=x_0$ ta sẽ tiến hành tiếp như sau.
Do $x=x_0$ là nghiệm của PT trên, suy ra
$A\sqrt[m]{P(x)}+ B\sqrt[n]{Q(x)}+R(x)=A\sqrt[m]{P(x_0)}+ B\sqrt[n]{Q(x_0)}+R(x_0)$
$\Leftrightarrow A\left (\sqrt[m]{P(x)}- \sqrt[m]{P(x_0)}\right )+B\left (\sqrt[n]{Q(x)}- \sqrt[n]{Q(x_0)}\right )+\left ( R(x)- R(x_0)\right )=0$
Từ đây, áp dụng hai phép biến đổi ở phần mở đầu ta sẽ tạo ra được các biểu thức $P(x)-P(x_0), Q(x)-Q(x_0), R(x)-R(x_0)$. Áp dụng quy tắc phân tích đa thức thành nhân tử ta thu được một PT tích có chứa nhân tử $x-x_0$.
Để giải quyết nhân tử còn lại ta có thể thực hiện tiếp quy tắc như trên hoặc chứng minh phương trình vô nghiệm.
Sau đây là các ví dụ cụ thể minh họa phương pháp trên :
Ví dụ $1.$ Giải phương trình :
\[\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+x^2+3x-9=0\]
Lời giải :
Điều kiện : $x \ge -3$.
Nhận thấy $x=1$ là một nghiệm của PT trên. Ta có :
PT $\Leftrightarrow \left (\sqrt{x+3}-2 \right )+ \left (\sqrt{x+8}-3 \right )+x^2+3x-4=0$
$\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+ \frac{x-1}{\sqrt{x+8}+3}+(x-1)(x+4)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)\underbrace {\left ( \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}+ \frac{1}{\sqrt{x+8}+3}+(x+4) \right ) }_{ A } =0$
Với điều kiện $x\ge -3$ thì hiển nhiên thấy $A>0$. Do vậy $x=1$.
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$.
Ví dụ $2.$ Giải phương trình :
\[\sqrt[3]{x-8}+\sqrt{x+7}+x^3-8x^2-8x-14=0\]
Lời giải :
Điều kiện : $x \ge -7$.
Nhận thấy $x=9$ là một nghiệm của PT trên. Ta có :
PT $\Leftrightarrow \left (\sqrt[3]{x-8}-1 \right )+ \left (\sqrt{x+7}-4\right )+x^3-8x^2-8x-9=0$
$\Leftrightarrow \frac{x-9}{\sqrt[3]{(x-8)^2}+\sqrt[3]{x-8}+1}+ \frac{x-9}{\sqrt{x+7}+4}+(x-9)(x^2+x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-9)\underbrace {\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-8)^2}+\sqrt[3]{x-8}+1}+ \frac{1}{\sqrt{x+7}+4}+(x^2+x+1) \right ) }_{ A } =0$
Thấy rằng biểu thức $\sqrt[3]{(x-8)^2}+\sqrt[3]{x-8}+1$ có dạng $f^2+fg+g^2$, mà
$f^2+fg+g^2=\left (f + \frac{g}{2} \right )^2+\frac{3g^2}{4} > 0 \forall g \ne 0.$
Và hiển nhiên $\sqrt{x+7}+4>0, x^2+x+1=\left ( x + \frac{1}{2}\right )^2+\frac{3}{4} > 0$.
Do đó $A>0$. Suy ra $x=9$.
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=9$.
Ví dụ $3.$ (Đại học Khối B - $2010$) Giải phương trình :
\[\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0\]
Lời giải :
Điều kiện : $-\frac{1}{3}\le x \le 6$.
Nhận thấy $x=5$ là một nghiệm của PT trên. Ta có :
PT $\Leftrightarrow \left (\sqrt{3x+1}-4 \right )+ \left (1-\sqrt{6-x} \right )+3x^2-14x-5=0$
$\Leftrightarrow \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+ \frac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+(x-5)(3x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-5)\underbrace {\left ( \frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+ \frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+(3x+1) \right ) }_{ A } =0$
Với điều kiện $x\ge -\frac{1}{3}$ thì hiển nhiên thấy $A>0$. Do vậy $x=5$.
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=5$.
Ví dụ $4.$ (Đại học Khối D - $2010$) Giải phương trình :
\[ 4^{2x+\sqrt{x+2}}+2^{x^3}=4^{2+\sqrt{x+2}}+2^{x^3+4x-4}\]
Lời giải :
Điều kiện : $x \ge -2$.
PT đã cho $\Leftrightarrow \left ( 2^{4x}-2^4 \right )\left (2^{2\sqrt{x+2}}-2^{x^3-4} \right )=0$
Xét $2^{4x}-2^4 =0\Leftrightarrow x=1.$
Xét $2^{2\sqrt{x+2}}-2^{x^3-4}=0\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}-x^3+4=0$
$\Leftrightarrow 2\left (\sqrt{x+2}-2 \right )-\left ( x^3-8 \right )=0$
$\Leftrightarrow \frac{2(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}-(x-2)(x^2+2x+4)=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\underbrace{\left ( \frac{2}{\sqrt{x+2}+2}-(x^2+2x+4) \right )}_{A}=0$
Ta thấy :
$\frac{2}{\sqrt{x+2}+2} \le \frac{2}{0+2}=1 < 3 \le (x+1)^2+3=x^2+2x+4$
Suy ra $A<0$. Do đó $x=2$.
Kết hợp ta có PT đã cho có hai nghiệm $x=1, x=2$.
Ví dụ $5.$ (Toán học và Tuổi trẻ) Giải phương trình :
\[ 4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8\]
Lời giải :
Điều kiện : $-2\le x \le \frac{22}{3}$.
PT $\Leftrightarrow 4\left (\sqrt{x+2}-1 \right )+ \left (\sqrt{22-3x}-5 \right )-(x^2-1)=0$
$\Leftrightarrow \frac{4(x+1)}{\sqrt{x+2}+1}- \frac{3(x+1)}{\sqrt{22-3x}+5}-(x-1)(x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)\underbrace {\left ( \frac{4}{\sqrt{x+2}+1}- \frac{3}{\sqrt{22-3x}+5}-(x-1) \right ) }_{ A } =0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\A=0 \end{matrix}} \right.$
Xét $A=0$
$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x+2}+1}- \frac{3}{\sqrt{22-3x}+5}-(x-1)=0$
$\Leftrightarrow 4\left ( \frac{1}{\sqrt{x+2}+1}-\frac{1}{3} \right )- 3\left ( \frac{1}{\sqrt{22-3x}+5}-\frac{1}{9} \right )-(x-2)=0$
$\Leftrightarrow \frac{4\left ( 2-\sqrt{x+2} \right )}{3\left (\sqrt{x+2}+1 \right )} - \frac{4-\sqrt{22-3x} }{3\left (\sqrt{22-3x}+5 \right )}-(x-2)=0$
$\Leftrightarrow - \frac{4\left (x-2 \right )}{3\left (\sqrt{x+2}+1 \right )\left ( \sqrt{x+2}+2 \right )} - \frac{x-2}{\left ( \sqrt{22-3x}+4 \right )\left (\sqrt{22-3x}+5 \right )}-(x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\underbrace{\left[ { - \frac{4}{3\left (\sqrt{x+2}+1 \right )\left ( \sqrt{x+2}+2 \right )} - \frac{1}{\left ( \sqrt{22-3x}+4 \right )\left (\sqrt{22-3x}+5 \right )}-1} \right]}_{B}=0$
Dễ thấy $B<0$ nên $x=2$.
Tóm lại PT đã cho có các nghiệm $x=-1, x=2$.
Sau đây là các bài tập áp dụng nhằm giúp các bạn hiểu rõ hơn tư tưởng và cách thực hiện phương pháp trên.
Giải các phương trình sau :
$1.$ $ \sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1} = 3$
$2.$ $ \sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1} = 1$
$3.$ $ \sqrt[3]{9-x}+\sqrt{5x-1} = 2x^2+3x-1$
$4.$ $ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1} = x^2-1$
$5.$ $ \sqrt{x^2+91}=\sqrt{x-2} +x^2$
|