Phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán Hệ phương trình. Trong các kỳ thi Đại học, việc sử dụng phương pháp này giúp cho các thí sinh dễ tiếp cận được lời giải cũng như đơn giản trong cách trình bày.
Chúng ta sẽ cùng điểm lại các bài toán liên quan đến phương pháp này.
Bài toán $1$. (Đại học Khối $A$ & $A_1 -2012$ )
Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}x^3-3x^2-9x+22= y^3+3y^2-9y\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{cases} (x, y \in \mathbb{R})\]
Lời giải :
Ý tưởng để giải bài toán này là xuất phát từ phương trình thứ hai của hệ để phát hiện ra phép đặt ẩn phụ nhằm chuyển hệ phương trình sang dạng chứa các ẩn mới hoàn toàn.
Hệ phương trình (HPT) đã cho trương đương với
$\begin{cases}(x^3-y^3)-3(x^2+y^2)-9(x-y)+22=0\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{2}(x-y)\left[ {3(x^2+y^2)-(x-y)^2} \right]-3(x^2+y^2)-9(x-y)+22=0\\ (x^2+y^2)-(x-y)=\frac{1}{2} \end{cases}$
Từ đây ta đặt
\[a=x^2+y^2\\ b=x-y \]
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{2}b(3a-b^2)-3a-9b+22=0 \\ a-b= \frac{1}{2}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{2}b\left (3b+\frac{3}{2}-b^2 \right )-3\left ( b+ \frac{1}{2} \right )-9b+22=0 \\ a=b+ \frac{1}{2}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2b^3-6b^2+45b-82=0 \\ a=b+ \frac{1}{2} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(b-2)(2b^2-2b+41)=0\\ a=b+ \frac{1}{2}\end{cases}$
Nhận thấy : $2b^2-2b+41=b^2+(b-1)^2+40>0 \forall b$. Do đó :
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}b=2 \\ a=\frac{5}{2} \end{cases}$
Thay ngược trở lại phép đặt ẩn phụ ta được :
$\begin{cases}x^2+y^2=\frac{5}{2} \ \\ x-y=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(y+2)^2+y^2=\frac{5}{2} \ \\ x=y+2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}4y^2+8y+3=0 \\ x=y+2 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y=-\frac{3}{2}\end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{3}{2} \\ y=-\frac{1}{2}\end{cases} \end{matrix}} \right.$
Vậy HPT đã cho có nghiệm $(x; y)=\left (\frac{1}{2}; -\frac{3}{2} \right )$ hoặc $(x; y)=\left (\frac{3}{2}; -\frac{1}{2} \right )$.
Bài toán $2$. (Đại học Khối $A -2009$ )
Giải phương trình
\[2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x} -8=0 (x \in \mathbb{R})\]
Lời giải :
Nhận thấy rằng các thành phần $\sqrt[3]{3x-2}$ và $\sqrt{6-5x} $ xuất hiện tách rời nhau nên ta có thể chuyển PT trên về dạng HPT mới với phép đặt ẩn phụ tương ứng. Và nhiệm vụ là phải tạo ra thêm được một PT nữa đảm bảo hai điều kiện. Đó là PT mới tạo phải độc lập với PT ban đầu và kết quả thu được một HPT phải đơn giản hơn so với PT đã cho.
Cụ thể như sau :
Điều kiện : $x \le \frac{6}{5}$
Đặt
\[u=\sqrt[3]{3x-2}\\v=\sqrt{6-5x} (v \ge 0)\]
Từ PT ban đầu ta có : $2u+3v=8 (1)$
Để tạo ra PT thứ hai như dự định, ta tìm cách cô lập $x$ trong phép đặt ẩn phụ, đó là :
$\begin{cases}u=\sqrt[3]{3x-2}\\v=\sqrt{6-5x} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=\frac{u^3+2}{3}\\x=\frac{6-v^2}{5} \end{cases}\Rightarrow \frac{u^3+2}{3}=\frac{6-v^2}{5} \Rightarrow 5u^3+3v^2=8 (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta thu được HPT :
$\begin{cases}2u+3v=8 \\5u^3+3v^2=8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}v= \frac{8-2u}{3}\\ 15u^3+4u^2-32u+40=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}v= \frac{8-2u}{3}\\ (u+2)(15u^2-26u+20)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u=-2 \\ v=4 \end{cases}$
Từ đây suy ra
$x= \frac{u^3+2}{3}=\frac{6-v^2}{5} =-2$ (thỏa mãn).
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=-2$.
Bài toán $3$. (Đại học Khối $B -2011$ )
Giải phương trình
\[3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^2}=10-3x (x\in \mathbb{R})\]
Lời giải :
Điều kiện : $-2 \le x \le 2$.
PT đã cho được viết lại dưới dạng :
$3\left (\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x} \right )=10-3x -4\sqrt{4-x^2} (1)$
Khác với tình huống trong Bài toán $2$ ta không vội tạo ra hai ẩn phụ mới từ các thành phần $\sqrt{2+x}$ và $\sqrt{2-x}$ bởi lẽ việc biểu diễn các số hạng còn lại sẽ phức tạp và có thể sẽ thu được một HPT khó tìm ra cách giải hơn PT ban đầu. Trong trường hợp này ta tạo ra một ẩn mới bằng cách đặt
\[t=\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}\]
Suy ra : $t^2=10-3x -4\sqrt{4-x^2}$.
PT $(1)\Leftrightarrow 3t=t^2\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=0\\ t=3\end{matrix}} \right.$
Với $t=0$. Ta có $\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=0\Leftrightarrow \sqrt{2+x}=2\sqrt{2-x}\Leftrightarrow 2+x=4(2-x)\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}$ (thỏa mãn).
Với $t=0$. Ta có $\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=3\Leftrightarrow \sqrt{2+x}=2\sqrt{2-x}+3 $, vô nghiệm do
$\begin{cases}\sqrt{2+x}\le 2\\ 2\sqrt{2-x}+3 \ge 3 \end{cases}$ với mọi $x \in \left[ {-2; 2} \right]$.
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{6}{5}$.
Bài toán $4$. (Đại học Khối $B -2009$ )
Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}xy+x+1= 7y\\ x^2y^2+xy+1=13y^2 \end{cases} (x, y \in \mathbb{R})\]
Lời giải :
Bài toán này thuộc dạng HPT không mẫu mực. Tức là không có quy tắc cụ thể để giải quyết nó. Công việc tìm ra phép đặt ẩn phụ cũng không hề đơn giản nếu như chỉ nhìn vào các mối quan hệ của ẩn trong đề bài. Ý tưởng của tác giả ở đây là trước hết phải thông qua một phép biến đổi để đưa hệ về dạng thuận lợi hơn.
Chi tiết như sau :
Xét $y=0$.
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}x+1=0 \\ 1=0 \end{cases}$. Hệ này vô nghiệm.
Xét $y \ne 0$.
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}=7 \\ x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}=13 \end{cases}$
Đặt
\[a=x+\frac{1}{y}\\b=\frac{x}{y}\]
Ta có :
$a^2=\left ( x+\frac{1}{y}\right )^2=x^2+2.\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}\Rightarrow x^2+\frac{1}{y^2}=a^2-2b$
Từ đây ta thu được HPT
$\begin{cases}a+b=7 \\ a^2-b=13 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=7-a \\ a^2+a-20=0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}a=4 \\ b=3 \end{cases}\\ \begin{cases}a=-5 \\ b=12 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x+\frac{1}{y}=4 \\ \frac{x}{y}=3 \end{cases}\\ \begin{cases}x+\frac{1}{y}=-5 \\\frac{x}{y}=12 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x^2-4x+3=0 \\ x=3y \end{cases}\\ \begin{cases}x^2+5x+12=0 \\ x=12y \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x=1 \\ y=\frac{1}{3} \end{cases}\\ \begin{cases}x=3 \\ y=1 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
Vậy HPT đã cho có nghiệm $(x; y)=\left (1; \frac{1}{3} \right )$ hoặc $(x; y)=\left (3; 1\right )$.
Bài toán $5$. (Đại học Khối $A -2008$ )
Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}x^2+y+x^3y+xy^3+xy=- \frac{5}{4}\\ x^4+y^2+xy(1+2x)=- \frac{5}{4} \end{cases} (x, y \in \mathbb{R})\]
Lời giải :
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y+xy+xy(x^2+y)=- \frac{5}{4}\\ (x^2+y)^2+xy=- \frac{5}{4} \end{cases} (*)$
Đặt \[u=x^2+y\\v=xy\]
HPT $(*)\Leftrightarrow \begin{cases}u+v+uv=- \frac{5}{4}\\ u^2+v=- \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}v=- \frac{5}{4}-u^2\\ u- \frac{5}{4}-u^2- \frac{5}{4}u-u^3=- \frac{5}{4} \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}v=- \frac{5}{4}-u^2\\ u^3+u^2+\frac{u}{4}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}u= 0\\ v= - \frac{5}{4}\end{cases}\\\begin{cases}u=- \frac{1}{2} \\ v=- \frac{3}{2} \end{cases} \end{matrix}} \right.$
Với $u= 0, v=- \frac{5}{4}$. Ta có HPT $\begin{cases}x^2+y=0 \\ xy=- \frac{5}{4} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \\ y= -\sqrt[3]{\frac{25}{16}}\end{cases}$
Với $u=- \frac{1}{2} , v=- \frac{3}{2} $. Ta có HPT $\begin{cases}x^2- \frac{3}{2x}+\frac{1}{2} =0 \\ y=- \frac{3}{2x} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x^2+x-3=0 \\ y=- \frac{3}{2x} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= 1\\ y=- \frac{3}{2} \end{cases}$
Vậy HPT đã cho có nghiệm $(x; y)=\left ( \sqrt[3]{\frac{5}{4}} ; -\sqrt[3]{\frac{25}{16}} \right )$ hoặc $(x; y)=\left (1;- \frac{3}{2} \right )$.
Từ các bài toán trên cho ta thấy phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hiệu quả trong các bài toán phương trình và hệ phương trình. Vấn đề cốt lõi là phải phát hiện phép đặt ẩn phụ và biểu diễn các thành phần còn lại qua phép đặt ẩn phụ này, đồng thời phương trình hoặc hệ phương trình mới tạo thành phải tỏ ra dễ chịu để tiếp tục giải quyết tiếp.
Sau đây là các bài tập áp dụng :
Bài tập $1$. (Đại học Khối $D -2009$ )
Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}x(x+y+1)-3=0\\ (x+y)^2-\frac{5}{x^2}+1=0 \end{cases} (x, y \in \mathbb{R})\]
Bài tập $2$. (Đại học Khối $D -2011$ )
Giải phương trình
\[\log_2 (8-x^2)+\log_{\frac{1}{2}} \left (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )-2=0 (x \in \mathbb{R})\]
Bài tập $3$. (Đại học Dự bị Khối $A -2007$ )
Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}x^4-x^3y+x^2y^2=1\\x^3y-x^2+xy=1=25 \end{cases} (x, y \in \mathbb{R})\]
Bài tập $4$. (Đại học Dự bị Khối $A -2006$ ) Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}x^2+y^2+x+y=4\\ x(x+y+1)+y(y+1)=2 \end{cases} (x, y \in \mathbb{R})\]
Bài tập $5$. (Đại học Dự bị Khối $B -2006$ )
Giải hệ phương trình
\[\begin{cases}(x-y)(x^2+y^2)=13\\ (x+y)(x^2-y^2)=25 \end{cases} (x, y \in \mathbb{R})\]