CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN - PHẦN III

PHƯƠNG PHÁP 7: DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương
Ví dụ 1:
Tìm các số nguyên $x$ để $9x + 5$ là tích của hai số nguyên liên tiếp
Giải:
Cách 1: Giải sử $9x + 5 = n(n + 1)$ với $n$ nguyên thì:
$36x + 20 = $$4{n^2} + 4n$
$ \Rightarrow 36x + 21 = 4{n^2} + 4n + 1$
$ \Rightarrow 3(12x + 7) = {(2n + 1)^2}$
Số chính phương ${(2n + 1)^2}$ chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có $12x + 7$ không chia hết cho 3 nên $3(12x + 7)$ không chi hết cho 9.
Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên $x$ nào để $9x + 5 = n(n + 1).$
Cách 2: Giả sử $9x + 5 = n(n + 1)$ với $n$ nguyên
Biến đổi ${n^2} + n - 9x - 5 = 0$
Để phương trình bậc hai đối với $n$ có nghiệm nguyên, điều kiện cần là $\vartriangle $ là số chính phương.
Nhưng $\Delta = 1 + 4(9x + 5) = 36x + 21$ chi hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương.
Vậy không tồn tại số nguyên $n$ nào để $9x + 5 = n(n + 1)$, tức là không tồn tại số nguyên $x$ để $9x + 5$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.

2. Tạo ra bình phương đúng:
Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                   $2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$
Giải :
$2{x^2} + 4x + 2 = 21 - 3{y^2}$
$ \Leftrightarrow 2{(x + 1)^2} = 3(7 - {y^2})$
Ta thấy $3(7 - {y^2}) \vdots 2 \Rightarrow 7 - {y^2} \vdots 2 \Rightarrow $y lẻ
Ta lại có $7 - {y^2}  \geqslant  0$ nên chỉ có thể ${y^2} = 1$
Khi đó (2) có dạng: $2{(x + 1)^2} = 18$
Ta được: $x + 1 = \pm 3$, do đó: ${x_1} = 2;{x_2} =  - 4$
Các cặp số $(2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1)$ thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho.

3. Xét các số chính phương liên tiếp:
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên dương $x$ sao cho:
             $x(x + 1) = k(k + 2)$
Giải:
Giả sử $x(x + 1) = k(k + 2)$với k nguyên, $x$ nguyên dương.
Ta có:
      ${x^2} + x = {k^2} + 2k$
 $ \Rightarrow {x^2} + x + 1 = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}$
Do $x > 0$ nên ${x^2} < {x^2} + x + 1 = {(k + 1)^2}$                (1)
Cũng do $x > 0$ nên
${(k + 1)^2} = {x^2} + x + 1 < {x^2} + 2x + 1 = {(x + 1)^2}$         (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
${x^2} < {(k + 1)^2} < {(x + 1)^2}$ vô lý
Vậy không tồn tại số nguyên dương $x$ để $x(x + 1) = k(k + 2)$

Ví dụ 4:
Tìm các số nguyên $x$ để biểu thức sau là một số chính phương:
          ${x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3$
Giải:
Đặt ${x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3$= ${y^2}$  (1) với $y \in \mathbb{N}$
Ta thấy:
$\begin{array}
{y^2} = ({x^4} + 2{x^3} + {x^2}) + ({x^2} + x + 3)  \\
{y^2} = {({x^2} + x)^2} + ({x^2} + x + 3)  \\
\end{array} $
Ta sẽ chứng minh ${a^2} < {y^2} < {(a + 2)^2}$ với a = ${x^2} + x$
Thật vậy:
$\begin{array}
  {y^2} - {a^2} = {x^2} + x + 3 = {(x + \frac{1}{2})^2} + \frac{{11}}{4} > 0  \\
  {(a + 2)^2} - {y^2} = {({x^2} + x + 2)^2} - ({x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3)  \\
\end{array} $
$\begin{array}
= 3{x^2} + 3x + 1  \\
= 3{(x + \frac{1}{2})^2} + \frac{1}{4} > 0  \\
\end{array} $
Do ${a^2} < {y^2} < {(a + 2)^2}$ nên ${y^2} = {(a + 1)^2}$
$\begin{array}
\Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 = {({x^2} + x + 1)^2}  \\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0  \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1  \\
  x =  - 2  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Với $x = 1$ hoặc $x = -2$ biểu thức đã cho bằng $9 = {3^2}$

4. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương
Ví dụ 5:
Giải phương trình với nghiệm nguyên dương:
                 $xy = {z^2}$             (1)
Giải:
Trước hết ta có thể giả sử $(x , y , z) = 1$. Thật vậy nếu bộ ba số ${x_o},{y_o},{z_o}$ thỏa mãn (1) và có ƯCLN bằng $d$, giả sử ${x_o} = d{x_1},{y_o} = d{y_1},{z_o} = d{z_1}$ thì ${x_1},{y_1},{z_1}$ cũng là nghiệm của (1).
Với $(x , y , z) = 1$ thì $x, y, z$ đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong ba số $x, y, z$ có ước chung là $d$ thì số còn lại cũng chia hết cho $d$.
Ta có ${z^2} = xy$ mà (x, y) = 1 nên $x = {a^2},y = {b^2}$ với $a, b \in {\mathbb{N}^*}$
Suy ra: ${z^2} = xy = {(ab)^2}$ do đó, $z = ab$
Như vậy: $\left\{ \begin{array}
  x = t{a^2}  \\
  y = t{b^2}  \\
  z = tab  \\
\end{array}  \right.$ với $t$ là số nguyên dương tùy ý.
Đảo lại, hiển nhiên các số $x, y, z$ có dạng trên thỏa mãn (1)
Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương của (1)

5. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0
Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                ${x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}$                    (1)
Giải:
Thêm $xy$ vào hai vế:
      ${x^2} + 2xy + {y^2} = {x^2}{y^2} + xy$
$ \Leftrightarrow {(x + y)^2} = xy(xy + 1)$                           (2)
Ta thấy $xy$ và $xy + 1$ là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0.
Xét $xy = 0$. Từ (1) có ${x^2} + {y^2} = 0$ nên x = y = 0
Xét $xy + 1 = 0$. Ta có $xy = -1$ nên $(x , y) = (1 ; -1)$ hoặc $(-1 ; 1)$
Thử lại, ba cặp số $(0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1)$ đều là nghiệm của phương trình đã cho.

PHƯƠNG PHÁP 8: TÌM NGHIỆM RIÊNG
1. Phương pháp:
Xét phương trình $ax + by + c = 0$          (1)
trong đó $a,b,c \in \mathbb{Z}$, $a \ne 0,b \ne 0$
Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng $(a, b, c) = 1$. Thật vậy, nếu $\left( {{\text{a}},{\text{ b}},{\text{ c}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}d \ne 1$ thì ta chia hai vế của phương trình cho $d$.

Ta có hai định lý:
Định lý 1:

Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $(a, b) = 1 (*)$
Chứng minh:

Giả sử $({x_o},{y_o})$ là nghiệm nguyên của (1) thì $a{x_o} + b{y_o} = c$
Nếu a và b có ước chung là $d \ne 1$ thì $c \vdots d$, trái với giả thiết $(a, b, c) = 1.$
Vậy $(a, b) = 1$

Định lý 2:

Nếu $({x_o},{y_o})$ là một nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng:
                                 $\left\{ \begin{array}
  x = {x_o} + bt  \\
  y = {y_o} - at  \\
\end{array}  \right.$
trong đó $t$ là một số nguyên tùy ý $(t = 0, \pm 1, \pm 2,...)$.
Chứng minh:
Bước 1: Mọi cặp số $({x_o} + bt;{y_o} - at)$ đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy $({x_o},{y_o})$ là nghiệm của (1) nên $a{x_o} + b{y_o} = c$
Ta có: $ax + by = a({x_o} + bt) + b({y_o} - at) = a{x_o} + b{y_o} = c$
Do đó $({x_o} + bt;{y_o} - at)$ là nghiệm của (1)
Bước 2: Mọi nghiệm $(x, y)$ của (1) đều có dạng $({x_o} + bt;{y_o} - at)$ với $t \in \mathbb{Z}$
Thật vậy, do $({x_o},{y_o})$ và $(x, y)$ là nghiệm của (1) nên
                               $\begin{array}
  ax + by = c  \\
a{x_o} + b{y_o} = c  \\
\end{array} $
Trừ từng vế:
$\begin{array}
  a(x - {x_o}) + b(y - {y_o}) = 0  \\
   \Rightarrow a(x - {x_o}) = b({y_o} - y)  \\
\end{array} $                           (2)
Ta có $a(x - {x_o})  \vdots b$ mà $(a, b) = 1$ (theo định lý 1) nên $x - {x_o}  \vdots b$
Vậy tồn tại số nguyên $t$ sao cho:    $x - {x_o}= bt$
Tức là: $x = {x_o} + bt$.
Thay vào (2):
$abt = b({y_o} - y)$
 $\begin{array}
   \Rightarrow at = {y_o} - y  \\
   \Rightarrow y = {y_o} - at  \\
\end{array} $
Vậy tồn tại số nguyên t sao cho:
        $\left\{ \begin{array}
  x = {x_o} + bt  \\
  y = {y_o} - at  \\
\end{array}  \right.$

2. Ví dụ:
Ví dụ 7:
Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:
                  $3x – 2y = 5$
Giải:
Cách 1: Ta thấy ${x_o} = 3;{y_o} = 2$ là một nghiệm riêng.
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
        $\left\{ \begin{array}
  x = 3 - 2t  \\
  y = 2 - 3t  \\
\end{array}  \right.$        ($t$ là số nguyên tùy ý)
Cách 2: Ta thấy ${x_o} = 1;{y_o} =  - 1$ là một nghiệm riêng
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
        $\left\{ \begin{array}
  x = 1 - 2t  \\
  y =  - 1 - 3t  \\
\end{array}  \right.$        ($t$ là số nguyên tùy ý)
Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên của cùng một phương trình.

3. Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn:
Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phương trình $ax + by = c$, ta có thể dùng phương pháp thử chọn: lần lượt cho $x$ bằng số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ $(0; \pm 1; \pm 2...)$ rồi tìm giá trị tương ứng của $y$.

PHƯƠNG PHÁP 9: HẠ BẬC
Ví dụ 8:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
           $x^3 + 2y^3 – 4z^3 = 0$         (1)
Giải:
(1) $ \Leftrightarrow x^3 = 4z^3 – 2y^3 $    (2)
Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên $x^3 \vdots $ 2 do đó x $  \vdots $ 2. Đặt $x = 2x_1,  (x_1 \in \mathbb{Z}$).
Thay vào (2) ta có:
 (2) $ \Leftrightarrow $ 8x_1^3 = 4x^3 – 2y^3 $ \Leftrightarrow y^3 = 2z^3 – 4x_1^3 $     (3)
Lập luận tương tự ta có $y  \vdots $ 2, đặt $y = 2y_1,   (y_1 \in $$\mathbb{Z}$).
Biến đổi tương tự, ta được:
              $z^3 = 4y_1^3 + 2x_1^3$          (4)
Lập luận tương tự ta có $z  \vdots $ 2, đặt $z = 2z_1,   (z_1 \in \mathbb{Z}$).
Biến đổi tương tự, ta lại có:
 (4) $ \Leftrightarrow  8z_1^3 = 4y_1^3 + 2x_1^3  \Leftrightarrow x_1^3 + 2y_1^3 – 4z_1^3 = 0$             (5)
Rõ ràng nếu bộ số $(x_0; y_0; z_0)$ là nghiệm của (1) thì bộ số $(\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{{y_0}}}{2};\frac{{{z_0}}}{2})$ cũng là nghiệm của (1), hơn nữa $x_0, y_0, z_0$ là số chẵn và $\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{{y_0}}}{2};\frac{{{z_0}}}{2}$ cũng là số chẵn. Quá trình này có thể tiếp tục mãi và các số $\frac{{{x_0}}}{{{2^n}}};\frac{{{y_0}}}{{{2^n}}};\frac{{{z_0}}}{{{2^n}}}$ là số chẵn với mọi n là số nguyên dương.
Vậy $x = y = z = 0$

Bài tập rèn luyện:
Bài 1:   
Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn :
                 $x^2y^2 – x^2 – 8y^2 =2xy$
Hướng dẫn:
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
          $y^2(x^2 – 7) = (x + y)^2.$           (1)
Phương trình đã cho có nghiệm $x = y = 0$. Xét $x, y \ne 0$. Từ (1) suy ra $x^2 – 7$ là một số chính phương. Đặt x^2 – 7 = a^2, ta có
         $(x – a)(x + a) = 7 $
Từ đó tìm được $x $
Đáp số: $(0, 0) ; (4, -1) ; (4, 2) ; (-4, 1) ; (-4, -2) $

Bài 2:   
Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn:
   a) $1! + 2! + ... + x! = {y^2}$
   b) $x! + y! = 10z + 9$
Hướng dẫn:
a)    Đây là bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một số chính phương.
Nếu $x \geqslant 4$ thì $1!+2!+…+x!$ tận cùng bởi 3 và không có số nguyên dương y nào thỏa mãn.
Đáp số : $x= y = 1$ hoặc $x = y = 3.$
b)    Nếu x, y > 1 thì x!+y! chia hết cho 2; loại
Nếu y = 1 thì $x! = 10z + 8 = 8$ (mod10), suy ra $x \leqslant 4.$
Đáp số : vô nghiệm.

Bài 3:   
Tìm tất cả nghiệm nguyên $(x; y)$ của phương trình :
                 $({x^2} + y)(x + {y^2}) = {(x - y)^3}$
Hướng dẫn:
Biến đổi phương trình về dạng
       $y[2{y^2} + ({x^2} - 3x)y + (x + 3{x^2})] = 0$       (1)
TH 1: $y = 0$
TH 2: y $ \ne 0$. Khi đó
    (1) $ \Leftrightarrow 2{y^2} + ({x^2} - 3x)y + (x + 3{x^2}) = 0$    (2)
Xem (2) là phương trình bậc 2 đối với biến $y$. Để (2) có nghiệm nguyên thì $\Delta  = {(x + 1)^2}x(x - 8)$ phải là một số chính phương, tức là
$x(x - 8) = {a^2}(a \in \mathbb{N}) \Rightarrow (x - 4 - a)(x - 4 + a) = 16$
Từ đó ta tìm được $x$
Đáp số : $(x; y) = (9; -6) , (9; -21) , (8; -10) , (-1; -1)$ và $(m; 0)$ với $m \in \mathbb{Z}$

Bài 4:   
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
                  $3{x^2} + 4{y^2} = 6x + 13$
Hướng dẫn:
biến đổi $3{x^2} - 6x + 3 = 16 - 4{y^2}$
                  $3{(x - 1)^2} = 4(4 - {y^2})$
Đáp số: $(3 ; 1), (3 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1), (1 ; 2), (1 ; -2)$