PHÂN BIỆT QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN

                                
Quy tắc cộng và quy tắc nhân là 2 quy tắc đếm cơ bản trong chương trình Đại số tổ hợp của lớp 11. Tuy nhiên, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào quy tắc nhân, khi nào dùng quy tắc cộng trong việc giải các bài tập. Chuyên đề này sẽ giúp ta phân biệt rõ và áp dụng đúng 2 quy tắc này.

I. LÝ THUYẾT
1. Quy tắc nhân:
Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua $n$ giai đoạn liên tiếp, trong đó:
Giai đoạn 1 có $m_1$ cách thực hiện
Giai đoạn 2 có $m_2$ cách thực hiện
….                  ………..
Giai đoạn $n$ có $m_n$ cách thực hiện
Khi đó, có: ${m_1}.{m_2}...{m_n}$ cách để hoàn thành công việc đã cho.
2. Quy tắc cộng:
Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo $n$ phương án khác nhau, trong đó:
Phương án thứ 1 có $m_1$ cách thực hiện
Phương án thứ 2 có $m_2$ cách thực hiện
….                ………..
Phương án thứ $n$ có $m_n$ cách thực hiện
Khi đó, có: ${m_1} + {m_2} + ... + {m_n}$ cách để hoàn thành công việc đã cho.

Nhận xét:  
Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng.
Như vậy, với nhận xét này, ta thấy rõ được sự khác biệt của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được. Sau đây là một số bài tập minh họa:

II. BÀI TẬP
Bài 1:
Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong mỗi trường hợp sau:
1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.
Lời giải:
1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\overline {abcd} $
Chọn chữ số $d$ có 3 cách chọn,
Chọn chữ số $a$ có 5 cách chọn,
Chọn chữ số $b$ có 5 cách chọn,
Chọn chữ số $c$ có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: $3.5.5.5 = 375$ (số).
2. Gọi số tự nhiên thỏa ycbt là $\overline {abcd} $
-  Nếu $d = 0$:       
Chọn chữ số $d$ có 1 cách chọn
Chọn chữ số $a$ có 5 cách chọn
Chọn chữ số $b$ có 4 cách chọn
Chọn chữ số $c$ có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có:  $1.5.4.3 = 60$ (số)  $(*)$
-  Nếu $d $$ \ne $ 0, có 2 cách chọn chữ số d
Chọn chữ số $a$ có 4 cách chọn
Chọn chữ số $b$ có 4 cách chọn
Chọn chữ số $c$ có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có:  $2.4.4.3$ = 96 (số)  $(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ theo Quy tắc cộng ta có $60 + 96 = 156$ (số)

Bài 2:
Bạn An có 5 bông hoa hồng khác nhau, 4 bông hoa cúc khác nhau, 3 bông hoa lan khác nhau, bạn cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có đủ cả loại.
Lời giải:
Bài toán xảy ra 3 trường hợp.
+Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách
-    Chọn 1 bông hồng thứ hai có 4 cách
-    Chọn 1 bông cúc có 4 cách
-    Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, ta có $5.4.4.3 = 240$ cách     (1)
+Trường hợp 2: Chọn 1bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng có 5 cách
-    Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách
-    Chọn 1 bông cúc thứ hai có 3 cách
-    Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.3 = 180 cách    (2)
+Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng có 5 cách
-    Chọn 1 bông cúc có 4 cách
-    Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách
-    Chọn 1 bông lan thứ hai có 2 cách
Theo quy tắc nhân, ta có $5.4.3.2 = 120$ cách    (3)
Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: $240 + 180 + 120 =540$ cách.

Bài 3:
Cho các chữ số  0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau  từ các chữ số trên . Hỏi:
a. Có bao nhiêu số chẵn
b. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1
Lời giải:
a. Gọi số đã cho có dạng : $a_1 a_2 a_3 a_4$    ( $a_4$ là chữ số chẵn)
    - Tìm số các số dạng trên kể cả $a_1 = 0$ :
    - $a_4$ có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có $A_7^3$=210 cách chọn nên số các số nầy là :630 số
  -  Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 :
    - $a_4$ có 2 cách chọn , các vị trí còn lại có $A_6^2$=30 cách chọn nên số các số nầy là: 60 số
Vậy số các số chẵn cần tìm là :630 –60 = 570 số
b. Gọi số đã cho có dạng : $a_1 a_2 a_3 a_4$    
-  Tìm số các số dạng trên kể cả a1 = 0 :
Chọn vị trí cho chữ số 1 : có 4 cách , các vị trí còn lại có $A_7^3$=210 cách chọn nên số các số nầy là :840 số
- Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 :
$a_1$ có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có $A_6^2$=30 cách chọn nên số các số nầy là :90 số
Vậy số các số cần tìm là :840 – 90 = 750 số (quy tắc cộng)

Bài 4:
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu
a. Ghế sắp thành hàng ngang
b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.
Lời giải:
a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có $A_7^4$ cách. Vậy có 6!.$A_7^4$ cách
b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có $A_6^4$ cách.
Vậy có 5!. $A_6^4$ cách sắp xếp.

Bài 5:
Trong một tổ học sinh của lớp có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn.
Lời giải:
  Gọi $A$ là tập tất cả các cách chọn 3 học sinh trong 12 học sinh.
  Gọi $B$ là tập hợp tất cả các cách chọn 3 học sinh nữ.
  Gọi $C$ là tập hợp tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán.
Ta có $|C|=|A|-|B|$  (quy tắc cộng).
Mặt khác dễ thấy $|A|= C_12^3 , |B|= C_4^3$, nên $|C|= C_12^3 -C_4^3=216$
Vậy có 216 cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài 6:
Với tập $E = ${$1,2,3,4,5,6,7$} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và :
a) Là số chẵn.
b) Trong đó có chữ số 7.
c) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
Lời giải:
a) Sử dụng kiến thức về hoán vị :
* $ a_5$ được chọn từ tập $F = ${$2,4,6$} $\Rightarrow$ Có 3 cách chọn.
* $ a_1,a_2,a_3,a_4$ là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ $E$\{$a_5$} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của 6
$\Rightarrow $ Có $A^4_6$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt , hình thành từ tập $E$ bằng :
$ 3.A^4_6 = 1080$ số.
b) Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7
$\Rightarrow $ có 5 cách chọn
Bốn vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ $E$\{$7$} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của 6
$ \Rightarrow $ Có $A^4_6$ cách chọn.
Vây, số các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập $E$, trong đó có chữ số 7, bằng :
$ \Rightarrow  5.A^4_6 = 1800$ số.
c) Gán $a_2 = 1 \Rightarrow $ Có 1 cách chọn
Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7 $\Rightarrow$ Có 4 cách chọn.
 Ba vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ $E$\{$7,1$} do đó nó là một chỉnh hợp chập 3 của 5
$\Rightarrow $ có $A^3_5$ cách chọn.
Vậy, số các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập $E$, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1, bằng :
$ 1.4.A^3_5 = 240$ số.

Bài 7
Cho các số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
a) Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số chia hết cho 5?
b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
c) Có bao nhiếu số có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000.
Lời giải:
a) ố có $4$ chữ số khác nhau.
Số cách chọn chữ số hàng nghìn: $7$ cách.
Số cách chọn $3$ chữ số còn lại $A^{3}_{7}=210$.
Vậy số các số có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là: $7.210=1470$ (số).
* Số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau.
Vì số cần tìm là chẵn nên chữ số tận cùng có thể là: $0; 2; 4; 6$.
+ Nếu chữ số tận cùng khác $0$ thì số các số cần tìm:
$3.6.A^{2}_{6}=540$ (số).
+ Nếu chữ số tận cùng là $0$ thì số các số cần tìm là:
$1.7.A^{2}_{6}=210$ (số).
Vậy số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là:
$540+210=750$ (số).
Nhận xét: Ở đây việc tìm số các số lẻ thực hiện thuận lợi hơn so với việc tìm các số chẵn vì thế đối với bài toán này ta có thể tiến hành tìm các số lẻ từ đó suy ra các số chẵn.
Số các số lẻ có $4$ chữ số khác nhau là: $4.6.A^{2}_{6}=720$.
Vậy số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là:
$1470-720=750$ (số).
* Số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$.
Vì số cần tìm chia hết cho $5$ nên chữ số tận cùng có thể là $0$ hoặc $5$.
+ Nếu chữ số tận cùng là $0$ thì số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là: $1.7.A^{2}_{6}=210$ (số).
+ Nếu chữ số tận cùng là $5$ thì số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là: $1.6.A^{2}_{6}=180$ (số).
Vậy số các số cần tìm có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là:
$210+180=390$ (số).
b) Số cách chọn vị trí chữ số $5$ là $4$.
Số cách chọn $3$ chữ số còn lại ( có cả chữ số $0$ đứng đầu ) là $A^{3}_{7}$
Hơn nữa ta lại có: $3.C^{2}_{8}.C^{2}_{5}.C^{1}_{3} + C^{1}_{8}.C^{2}_{5}.C^{1}_{3} + C^{1}_{8}.C^{1}_{5}.C^{2}_{3} = 780$ số có $4$ chữ số khác nhau nhất thiết có mặt chữ số $5$ và chữ số $0$ đứng đầu.
 Vậy số các số có $4$ chữ số khác nhau nhât thiết có mặt chữ số $5$ là:
 $4.A^{3}_{7} - 3.A^{2}_{6} = 840 - 90 =750$ (số).
 c) Vì số cần tìm nhỏ hơn $4000$ nên chữ số hàng nghìn có $3$ cách chọn. Số cách chọn $3$ chữ số còn lại là: $A^{3}_{7}=210$.
 Vậy số các số cần tìm có $4$ chữ số khác nhau nhỏ hơn $4000$ là:
$ 3.210=630$ (số).

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1:
Từ các chữ số $0, 2, 3, 4, 5, 7, 8$
1. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số.
2. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau.
3. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì bằng nhau.
4. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà tổng hai chữ số hàng chục và đơn vị bằng 7.
5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà tổng ba chữ số hàng trăm, chục và đơn vị bằng 9.
Bài 2:
Một tổ học sinh gồm 8 nam và 3 nữ, giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 em để đi lao động, hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
1. Chọn học sinh nào cũng được.
2. Trong 4 học sinh được chọn có duy nhất 1 học sinh nam.
3. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất 1 học sinh nữ.
4. Trong 4 học sinh được chọn, có nhiều nhất 2 học sinh nam.
5. Trong số học sinh được chọn thì số nam luôn nhiều hơn số nữ.
Bài 3:
Có bao nhiêu cách chia tập $A$ gồm 10 phần tử thành 2 tập hợp con khác rỗng.
Bài 4:
Có 20 học sinh; trong đó có 4 cặp sinh đôi. Chọn ra 3 học sinh sao cho không có cặp sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 5:
Một ngân hàng câu hỏi gồm 5 câu hỏi khó, 6 câu hỏi trung bình và 7 câu hỏi dễ. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm 5 câu hỏi sao cho:
1. Đề thi có 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó.
2. Đề thi có 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó.
3. Đề thi nhất thiết có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
Bài 6:
Tìm các số tự nhiên chia hết cho 2 và có 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Bài 7:
Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số từ $1;2;3;4;5;6;$ trong đó chữ số 1 và 6 có mặt 2 lần; các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 8:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số; trong đó có ba chữ số lẻ khác nhau; 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần.
Bài 9:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; sao cho 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ số lẻ.
Bài 10:
Cho $0;1;...;7$.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn; có 6 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 4.