PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC
Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
3. Phương trình bậc cao hai ẩn
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$)
theo ẩn kia.
- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$
- Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên
${t_1}$, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và ${t_1}$
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một
đa thức với các hệ số nguyên
Ví dụ 1:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
$11x + 18y = 120$
Giải:
Ta thấy $11x \vdots 6$ nên $x \vdots 6$. Đặt $x = 6k$ ($k$ nguyên).
Thay vào (1) và rút gọn ta được: $11k + 3y = 20$
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là $y$) theo $k$ ta được:
$y = \frac{{20 - 11k}}{3}$
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
$y = 7 - 4k + \frac{{k - 1}}{3}$
Lại đặt $\frac{{k - 1}}{3}$ $= t$ với $t$ nguyên suy ra $k = 3t + 1$. Do đó:
$\begin{array}
y = 7 - 4(3t + 1) + t = 3 - 11t \\
x = 6k = 6(3t + 1) = 18t + 6 \\
\end{array} $
Thay các biểu thức của $x$ và $y$ vào (1), phương trình được nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm nguyên của (1) được biểu thị bởi công thức:
$\left\{ \begin{array}
x = 18t + 6 \\
y = 3 - 11t \\
\end{array} \right.$ với $t$ là số nguyên tùy ý
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
$5x – 3y = 2xy – 11$
Giải:
Biểu thị $y$ theo $x$:
$(2x + 3)y = 5x + 11$
Dễ thấy $2x + 3 \ne 0$ (vì $x$ nguyên ) do đó:
$y = \frac{{5x + 11}}{{2x + 3}} = 2 + \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$
Để $y \in \mathbb{Z}$phải có $x + 5 \vdots 2x + 3$
$
\Rightarrow 2(x + 5) \vdots 2x + 3$
$
\Rightarrow 2x + 3 + 7 \vdots 2x + 3$
$ \Rightarrow
7 \vdots 2x + 3$
Nên $(x,y)=(-1,6),(-2,-1),(2,3),(-5,2)$
Thử lại các cặp giá trị trên của $(x , y)$ đều thỏa mãn phương trình đã cho.
Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
${x^2} - 2x - 11 = {y^2}$
Giải:
Cách
1: Đưa về phương trình ước số:
${x^2} - 2x + 1 - 12 = {y^2}$
$ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} - {y^2} = 12$
$ \Leftrightarrow (x - 1 + y)(x - 1 - y) = 12$
Ta có các nhận xét:
Vì (1) chứa $y$ có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng $y \geqslant 0$.
Thế thì $x - 1 + y \geqslant x - 1 - y$
$(x - 1 + y) - (x - 1 - y) = 2y$ nên $x - 1 + y$và $x - 1 - y$ cùng tính chẵn
lẻ.
Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:
$(x-1+y,x-1-y)=(6,2),(-2,6)$
Do đó: $(x,y)=(5,2),(-3,2)$
Đáp số: $(5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2)$
Cách
2: Viết thành phương trình bậc hai đối với $x$:
${x^2} - 2x - (11 + {y^2}) = 0$
$\Delta ' = 1 + 11 + {y^2} = 12 + {y^2}$
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:
$\Delta '$ là số chính phương $ \Leftrightarrow 12 + {y^2} = {k^2}(k \in
\mathbb{N})$
$ \Leftrightarrow {k^2} - {y^2} = 12 \Leftrightarrow (k + y)(k - y) = 12$
Giả sử $y \geqslant 0$ thì $k + y$ $ \geqslant k – y$
và $k + y \geqslant $ 0
$(k + y) – (k – y) = 2y$ nên $k + y$ và $k – y$ cùng
tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.
Từ các nhận xét trên ta có:
$\left\{ \begin{array}
k + y = 6 \\
k - y = 2 \\
\end{array} \right.$
Do đó: $y = 2$
Thay vào (2): ${x^2} - 2x - 15 = 0$
$ \Rightarrow {x_1} = 5,{x_2} = - 3$
Ta có bốn nghiệm: $(5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2)$
Ví dụ 4:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
${x^2} +
2{y^2} + 3xy - x - y + 3 =
0$
(1)
Giải:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
${x^2} + (3y
- 1)x + (2{y^2} - y + 3) =
0$ (2)
$\Delta = {(3y - 1)^2} - 4(2{y^2} - y + 3) = {y^2} - 2y - 11$
Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là $\Delta $ là số chính phương
$ \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 11 = {k^2}(k \in
\mathbb{N})$
(3)
Giải (3) với nghiệm nguyên ta được ${y_1} = 5,{y_2} = - 3$
Với $y = 5$ thay vào (2) được ${x^2} + 14x + 48 = 0$. Ta có: ${x_1} = -
8,{x_2} = - 6$
Với $y = -3$ thay vào (2) được ${x^2} - 10x + 24 = 0$. Ta có ${x_3} = 6,{x_4} =
4$
Đáp số: $(-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)$
3. Phương trình bậc cao hai ẩn
Ví dụ 5:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
$x(x + 1)(x + 2)(x + 3) =
{y^2}$ (1)
Giải:
Nếu $y$ thỏa mãn phương trình thì $ – y$ cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử $y
\geqslant 0$
(1) $ \Leftrightarrow ({x^2} + 3x)({x^2} + 3x + 2) = {y^2}$
Đặt ${x^2} + 3x + 2 + 1 = a$, ta được:
$(a - 1)(a + 1) = {y^2} \Leftrightarrow {a^2} - 1 =
{y^2}$
$ \Leftrightarrow (a + y)(a - y) = 1$
Suy ra $a + y = a – y$, do đó $y = 0$
Thay vào (1) được: ${x_1} = 0;{x_2} = - 1;{x_3} = - 2;{x_4} = - 3$
Đáp số: $(0 ; 0), (-1 ; 0), (-2 ; 0), (-3 ; 0)$
Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
${x^3} - {y^3} = xy +
8$
(1)
Giải:
Cách 1: $|x - y|.|{x^2} + xy + {y^2}| = |xy + 8|$
Dễ thấy $x \ne y$, vì nếu $x = y$ thì (1) trở thành $0 = {x^2} + 8$, loại.
Do $x, y$ nguyên nên $|x - y| \geqslant 1$
Suy ra: $|{x^2} + xy + {y^2}| \leqslant |xy + 8|$
Do đó: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant |xy +
8|$
(2)
Xét hai trường hợp:
$xy + 8 < 0$. Khi đó (2) trở thành:
${x^2} + xy + {y^2} \leqslant - xy - 8 \Leftrightarrow {(x + y)^2}
\leqslant - 8$, loại
$xy + 8 \geqslant 0$. Khi đó (2) trở thành:
${x^2} + xy + {y^2} \leqslant xy + 8 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \leqslant
8$ (3)
Do đó: ${x^2},{y^2} \in \{ 0;1;4\} $
Nếu $x = 0$ thì từ (1) có ${y^3} = - 8$ nên $y =$ $ - $2
Nếu $y = 0$ thì từ (1) có ${x^3} = - 8$ nên $x = 2$
Nếu $x, y$ khác 0 thì ${x^2},{y^2} \in \{ 1;4\} $. Do $x \ne y$ nên chỉ có:
$\left\{ \begin{array}
{x^2} = 1 \\
{y^2} = 4 \\
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}
{x^2} = 4 \\
{y^2} = 1 \\
\end{array} \right.$
Như vậy trong hai số $x$ và $y$ có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của
(1) lẻ còn vế phải của (1) chẵn, không xảy ra.
Đáp số: $(0 ; -2), (2 ; 0)$
Cách
2: ${x^3} - {y^3} - xy =
8$
(1)
$ \Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 27xy
= 216$
$ \Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 1 -
27xy = 215$ (2)
Ta thấy $27{x^3}$, $ - 27{y^3}$, $ - 1$ là lập phương của $3x, $ - $3y, $$ -
1$còn $27xy$ là ba lần tích của ba số ấy. Áp dụng hằng đẳng thức:
${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = (a + b + c).\frac{{{{(a - b)}^2} + {{(b -
c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}{2}$
Với $a = 3x, b = -3y, c = - 1$, ta biến đổi (2) thành:
$(3x - 3y - 1).\left[ {\frac{{{{(3x + 3y)}^2} + {{(1 - 3y)}^2} + {{(3x +
1)}^2}}}{2}} \right] = 215$ (3)
Đặt biểu thức trong dấu móc của (3) là $A$.
Ta thấy $A > 0$ nên $A$ và $3x - 3y - 1$ là ước tự nhiên của 215. Phân tích
ra thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nên 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215.
Do $3x - 3y - 1$ chi cho 3 dư 2 nên $3x - 3y - 1 \in \{ 5;215\} $
Xét hai trường hợp:
$\left\{ \begin{array}
3x - 3y - 1 = 5(4) \\
A = 43(5) \\
\end{array} \right.$ và $\left\{
\begin{array}
3x - 3y - 1 = 215 \\
A = 1 \\
\end{array} \right.$
Trường
hợp 1: từ (4) suy ra $x – y = 2$. Thay $y = x – 2$ vào (5) được:
${[3x + 3(x - 2)]^2} + {[1 - 3(x - 2)]^2} + {(3x + 1)^2} = 86$
Rút gọn được: $x(x – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = 2$
Với $x = 0$ thì $y = 2$. Với $x =2$ thì $y =0$
Trường
hợp 2: Từ $A = 1$ suy ra:
${(3x + 3y)^2} + {(1 - 3y)^2} + {(3x + 1)^2} = 2$
Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1.
Số bằng 0 không thề là $1 – 3y$ hoặc $3x + 1$, do đó $3x + 3y = 0$.
Nghiệm nguyên của hệ:
$\left\{ \begin{array}
3x + 3y = 0 \\
{(1 - 3y)^2} = 1 \\
{(3x + 1)^2} = 1 \\
\end{array} \right.$ là $x = y = 0$, không thỏa mãn $3x
– 3y – 1 = 215$.
Đáp số: $(0 ; -0), (2 ; 0)$
Cách
3: ${x^3} - {y^3} = xy + 8$
$ \Leftrightarrow {(x - y)^3} + 3xy(x - y) = xy + 8$
Đặt $x – y = a, xy = b$ ta có:
${a^3} + 3ab = b + 8$
$ \Leftrightarrow {a^3} - 8 = - b(3a - 1)$
Suy ra: ${a^3} - 8 \vdots 3a - 1$
$ \Rightarrow 27({a^3} - 8) \vdots 3a - 1$
$ \Rightarrow 27{a^3} - 1 - 215 \vdots 3a - 1$
Do $27{a^3} - 1 \vdots 3a - 1$ nên $215 \vdots 3a - 1$
Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43
Do đó $3a - 1 \in \{ \pm 1; \pm 5; \pm 43; \pm 215\} $
Do $3a – 1$ chia cho 3 dư 2 nên $3a - 1 \in \{ - 1;5; - 43;215\} $
Ta có: Do $b = \frac{{{a^3} - 8}}{{1 - 3a}}$ nên:
$(a,b)=(0,-8),(2,0),(-14,-64),(72,-1736)$
Chú ý rằng ${(x - y)^2} + 4xy \geqslant 0$ nên ${a^2} + 4b \geqslant 0$, do đó
trong bốn trường hợp trên chỉ có $a = 2;b = 0$. Ta được: $x – y = 2; xy = 0$
Đáp số: $(0 ; -2)$ và $(2 ; 0)$
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
Ví dụ 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
$6x + 15y + 10z = 3$
Giải:
Ta thấy$10z \vdots 3$ nên $z \vdots 3$. Đặt $z = 3k$ ta
được:
$6x + 15y + 10.3k = 3$
$ \Leftrightarrow 2x + 5y + 10k = 1$
Đưa về phương trình hai ẩn $x, y$ với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số
nguyên tố cùng nhau.
$2x + 5y = 1 - 10k$
$x = \frac{{1 - 10k - 5y}}{2} = - 5k - 2y + \frac{{1 - y}}{2}$
Đặt $\frac{{1 - y}}{2}$ $= t$ với $t$ nguyên. Ta có:
$\begin{array}
y = 1 - 2t \\
x = - 5k - 2(1 - 2t) + t = 5t - 5k - 2 \\
z = 3k \\
\end{array} $
Nghiệm của phương trình: $(5t - 5k - 2;1 - 2t;3k)$ với $t, k$ là các số nguyên
tùy ý.
Ví dụ 8:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
${x^2} + {y^2} + {z^2} =
1999$ (1)
Giải:
Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ
thì chia cho 4 dư 1 và chia cho 8 dư 1.
Tổng ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ là số lẻ nên trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$phải
có: hoặc có một số lẻ, hai số chẵn; hoặc cả ba số lẻ.
Trường hợp trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$ có một số lẻ, hai số chẵn thì vế
trái của (1) chia cho 4 dư 1, còn vế phải là 1999 chia cho 4 dư 3, loại.
Trong trường hợp ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8
dư 3, còn vế phải là 1999 chia cho 8 dư 7, loại.
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$7(x + y) = 3(x^2 – xy + y^2)$
Hướng dẫn:
Đáp số : $(x, y) = (4, 5)$ hoặc $(5,4)$
Cách
1: Đổi biến $u = x + y, v = x – y$ ta đưa về phương trình:
$28u = 3(u^2 + 3v^2). (*)$
Từ (*) chứng minh được $u$ chia hết cho 9 và $0 \le u \le 9$ suy ra $u = 0$
hoặc $u = 9$
Cách
2: Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với x.
$3x^2 – (3y + 7)x + 3y^2 – 7y = 0$ (1)
Để (1) có nghiệm thì biệt thức $\Delta $ phải là số chính phương
Từ đó tìm được y
Bài 2:
Tìm $x, y$ $ \in {\mathbb{Z}^ + }$ thỏa mãn :
$x^{2000} +
y^{2000} = 2003^{2000} $ (1)
Hướng dẫn:
Đáp số: phương trình vô nghiệm
Giả sử $x \ge y$. Từ (1) suy ra $x < 2003$ và $x + 1 < 2003$
Ta có
$2003^{2000} ≥ (x + 1)^{2000} > x^{2000} +
2000.x{1999}$
$ \Rightarrow $$y^{2000} > 2000.x^{1999} ≥ 2000.y^{1999}$ $ \Rightarrow $
$2003 > x ≥ y > 2000$
Vậy $x = 2002, y = 2001$
Thử lại không thỏa mãn (1)
Bài 3:
Chứng minh $\forall n \in {\mathbb{N}^*},$ phương trình ${x_1} + {x_2} + ... +
{x_n} = {x_1}.{x_2}...{x_n}$ luôn có nghiệm trong ${\mathbb{N}^*}$.
Hướng dẫn:
Cho ${x_1} = {x_2} = ... = {x_{n - 2}} = 1$ ta đi đến phương trình
$({x_{n - 1}} -
1)({x_n} - 1) = n -
1.$ (1)
Dễ thấy ${x_n} = n$và${x_{n - 1}} = 2$ thỏa mãn (1)
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm nguyên dương là
$({x_1};{x_2};...;{x_{_n}}) = (1;1;...;2;n)$
Bài4:
Chứng minh rằng phương trình $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = 2001^n$ luôn có
nghiệm nguyên với mọi $n ≥ 2$
Hướng dẫn:
Đặt ${2001^n} = 9m$. Bộ ba số $(m; m – 1; m + 1)$ là một nghiệm của phương
trình đã cho