BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Bài viết này tập hợp các bài tập để các bạn rèn luyện sau khi đã đọc xong các chuyên đề phương trình nghiệm nguyên:
-  Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, phần 1-3
-  Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức
-  Các dạng phương trình nghiệm nguyên khác

BÀI TẬP
Bài 1:
Tìm các số nguyên tố $x, y, z$ thỏa mãn :
               $x^y + 1 = z$
Hướng dẫn:
Vì $x, y$ nguyên tố nên $x, y \ge 2$.
Từ phương trình đã cho ta suy ra $z \ge 5$ và $ z$ lẻ (do $z$ nguyên tố). Vì $z$ lẻ nên $x$ chẵn hay $x = 2$. Khi đó, $z = 1 + 2^y.$
Nếu $y$ lẻ thì $z$ chia hết cho 3 (loại). Vậy $y = 2.$
Đáp số : $x = y = 2  và  z = 5.$

Bài 2:
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n, z)$ thỏa mãn phương trình :
                  $2^n + 12^2 = z^2 – 3^2$
Hướng dẫn:
Nếu $n$ lẻ thì $2^n ≡ -1$ (mod 3).
Từ phương trình đã cho ta suy ra $z^2 ≡ -1$ (mod 3), loại.
Nếu $n$ chẵn thì $n = 2m (m \in N)$ và phương trình đã cho trở thành:
       $z^2 – 2^{2m} =153$ hay $(z – 2^m)(z + 2^m) = 153.$
Cho $z + 2^m$  và $z – 2^m$  là các ước của 153 ta tìm được $m = 2, z = 13.$
Đáp số : $n = 4, z = 13.$

Bài 3:   
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
                 $\sqrt {x + 2\sqrt 3 }  = \sqrt y  + \sqrt z $
Hướng dẫn:
Vì vai trò của $x, y, z$ như nhau nên có thể giả sử $y \geqslant z.$
Từ phương trình đã cho ta suy ra $x + 2\sqrt 3  = y + z + 2\sqrt {yz} .$ Suy ra:
        ${(x - y - z)^2} + 4\sqrt 3 (x - y - z) = 4yz - 12.$           (1)
Vì $\sqrt 3 $ là số vô tỉ nên từ (1) ta suy ra :
$x – y – z = 4yz – 12 = 0\Rightarrow yz = 3  \Rightarrow y = 3, z = 1$ và  $x = y + z =4$
Đáp số : phương trình có 2 nghiệm là (4; 3; 1) và (4; 1; 3)

Bài 4:   
Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b, c$ đôi một khác nhau sao cho biểu thức :
                 A = $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}$    nhận giá trị nguyên dương.
Hướng dẫn:
Ta có:   $A.abc = ab + bc + ca + a + b + c$                 (1)
Từ (1) ta CM được $a, b, c$ cùng tính chẵn lẻ. Vì vau trò của $a, b, c$ như nhau và $a, b, c$ đôi một khác nhau nên có thể giả thiết $a < b < c$.
Nếu $a \geqslant 3$thì $b \geqslant 5,c \geqslant 7$ và $A < 1$, loại. Suy ra $a = 1$ hoặc $a = 2$
Nếu $a = 1$ thì $b \geqslant 3,c \geqslant 5$ do đó $1 < A < 3$ suy ra $A = 2$. Thay $a = 1, A = 2$ ta được:
$2(b + c) + 1 = bc$ hay  $(b – 2)(c – 2) =5$. Từ đó ta được $b = 3, c = 7$. Trường hợp $a = 2$ xét tương tự.
Đáp số : (2; 4; 14), (1; 3; 7) và các hoán vị của 2 bộ số này

Bài 5:   
Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của hai số bất kì cộng với 1 chia hết cho số còn lại
Hướng dẫn:
Giả sử ba số đã cho là $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 1.$ Ta có
    $\frac{c}{{ab + 1}},\frac{a}{{bc + 1}},\frac{b}{{ac + 1}}$
Suy ra
   $\frac{{abc}}{{(ab + 1)(ac + 1)(bc + 1)}}$
$ \Rightarrow ab + bc + ca + 1$$ \vdots $ $abc$
$ \Rightarrow ab + bc + ca + 1 = k.abc,        k \in {\mathbb{Z}^ + }.$             (1)
Vì $ab + bc + ca + 1 \leqslant 4abc$ nên $k \leqslant 4 $
Nếu $k = 4$ thì $a = b = c = 1$ (thỏa mãn)
Nếu $k = 3$ thì từ (1) ta suy ra $3abc \leqslant 4ab$ suy ra $c \leqslant $1
Do đó $c = 1 \Rightarrow  a = 2, b = 1 $
Trường hợp $k = 2, k = 1$ được xét tương tự như trường hợp $k = 3$
Đáp số : $(1; 1; 1) , (2; 1; 1) , (3; 2; 1) , (7; 3; 2) $

Bài 6:   
Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x, y, z$ thỏa mãn :
                 ${x^3} + {y^3} + {z^3} = {(x + y + z)^2}$
Hướng dẫn:
Vì vai trò của $x, y, z$ như nhau nên có thể giả sử $x < y < z$
Áp dụng bất đẳng thức
            $\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \geqslant {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}$
$\forall x,y,z \geqslant 0$ ta suy ra $ x + y + z$ $ \leqslant $ 9
Dấu bằng không xảy ra vì $x, y, z$ đôi một khác nhau
Vậy $x + y + z$ $ \leqslant $ 8                                    (1)
Mặt khác$ x + y + z$ $ \geqslant $ 1 + 2 + 3 =6          (2)
Từ (1), (2) ta suy ra $x$ $ \in \left\{ {6,7,8} \right\}$
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được $x, y, z $
Đáp số : (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này  

Bài 7:   
Tìm các số nguyên không âm $x, y$ sao cho :
                 ${x^2} = {y^2} + \sqrt {y + 1} $
Hướng dẫn:
Nếu $y = 0$ thì $x = 1$
Nếu $y$ $ \geqslant $ 1 thì từ phương trình đã cho ta suy ra $y < x < y + 1$, vô lí

Bài 8:   
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn
                 $12x^2 + 6xy + 3y^2 = 28(x + y)$
Hướng dẫn:
Đáp số $(x, y) = (0, 0) ; (1, 8) ; (-1, 10)$
Phương trình : $12x^2 + 6xy + 3y^2 = 28(x + y)     (*)$
Ta sẽ đánh giá miền giá trị của `x`:
Từ (*) suy ra:
$\begin{array}
  9{x^2} =  - 3{(x + y)^2} + 28(x + y) = \frac{{{{14}^2}}}{3} - 3{\left[ {(x + y) - \frac{{14}}{3}} \right]^2} \leqslant \frac{{196}}{3}  \\
\Rightarrow {x^2} \leqslant 7 \Rightarrow {x^2} \in \{ 0,1,4\}   \\
\end{array} $

Bài 9:   
Tìm $x,y,z \in \mathbb{Z}:$
               $2{x^3} - 7{x^2} + 8x - 2 = y$
               $2{y^3} - 7{y^2} + 8y - 2 = z$
               $2{z^3} - 7{z^2} + 8z - 2 = x$
Hướng dẫn:
Đáp số : $x = y = z =1$ hoặc $x= y = z = 2$
Đặt $ƒ(t) = 2{t^3} - 7{t^2} + 8t - 2$ và sử dụng tính chất $ƒ(a) – ƒ(b)  \vdots (a - b)\forall a \ne b$

Bài 10:   
Tìm $x, y$ $ \in \mathbb{Z}$:$\sqrt x  + \sqrt y  = \sqrt {2001} $           (*)
Hướng dẫn:
Điều kiện $x,y \geqslant 0$
Từ (*) suy ra $\sqrt y  = \sqrt {2001}  - \sqrt x $. Bình phương hai vế ta được
        $y = 2001 + x - 2\sqrt {2001.x}  \Rightarrow \sqrt {2001.x}  \in \mathbb{N}$
Vì 2001 = 3 × 667, ta lại có 3 và 667 là các số nguyên tố nên
             $x = 3 × 667 × a^2 = 2001.a^2 $ (trong đó $a \in \mathbb{N})$
Lập luận tương tự ta có ^y =^ $2001.{b^2}(b \in \mathbb{N})$
Thay $x = 2001{a^2},y = 2001{b^2}$ vào (*) và rút gọn ta suy ra : $a + b =1$
Từ đó có hai nghiệm : $(x; y) =(2001; 0)$ hoặc $(0; 2001)$

Bài 11:   
Tìm $n$ nguyên dương sao cho phương trình $x^3 + y^3 + z^3 = nx^2y^2z^2$ có nghiệm nguyên dương. Với các giá trị vừa tìm được của $n$, hãy giải phương trình trên.
Hướng dẫn:
Đáp số: $n = 1$ hoặc $n = 3$

Bài 12:   
Chứng minh rằng phương trình $x^2 + y^5 = z^3$ có vô số nghiệm nguyên $(x, y, z)$ thỏa mãn $xyz \ne 0$
Hướng dẫn:
Dễ thấy bộ các bộ ba sau là nghiệm của phương trình đã cho:  (3; -1; 2) và (10; 3; 7)
Ta thấy nếu $(x; y; z)$ là nghiệm của phương trình đã cho thì $({k^{15}}x,{k^6}y,{k^{10}}z)$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Từ đó có điều phải chứng minh

Bài 13:   
Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
       $\begin{array}
  a)3{x^2} - 4{y^2} = 13  \\
 b)19{x^2} + 28{y^2} = 2001  \\
 c){x^2} = 2{y^2} - 8y + 3  \\
 d){x^5} - 5{x^3} + 4x = 24(5y + 1)  \\
 e)3{x^5} - {x^3} + 6{x^2} - 18x = 2001  \\
\end{array} $
Hướng dẫn:
Dùng phương pháp xét số dư của từng vế. Từ đó ta thấy số dư của hai vế phương trình sẽ không bằng nhau. Điều đó dẫn tới các phương trình vô nghiệm.

Bài 14:   
Tìm ba số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng.
Hướng dẫn:
$xyz = 2(x + y + z)$
Giải sử $x \leqslant y \leqslant z$. Ta có $xyz = 2(x + y + z) \leqslant 2.3z = 6z$
Suy ra $xy \leqslant 6$, thử chọn lần lượt $xy = 1; 2; 3; 4; 5; 6.$
Đáp số: $(1 ; 3 ; 8), (1 ; 4 ; 5), (2 ; 2 ; 4)$ và các hoán vị.

Bài 15:   
Tìm bốn số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.
Hướng dẫn:
$x + y + z + t = xyzt$
Giả sử $z \geqslant t \geqslant z \geqslant y \geqslant x$.
Ta có $xyzt = x + y + z + t \leqslant 4t$ nên $xyz \leqslant 4$.
Thử chọn lần lượt $xy = 1; 2; 3; 4.$
Đáp số: 1 ; 1 ; 2 ; 4.

Bài 16:  
 Tìm các nghiệm nguyên dương của các phương trình:
       $\begin{array}
  a){x^2} + xy + {y^2} = 2x + y  \\
 b){x^2} + xy + {y^2} = x + y  \\
 c){x^2} - 3xy + 3{y^2} = 3y  \\
 d){x^2} - 2xy + 5{y^2} = y + 1  \\
\end{array} $
Hướng dẫn:
đưa các phương trình vể dạng phương trình bậc hai theo ẩn x, tìm điều kiện của $\Delta$ để phương trình có nghiệm nguyên.
Đáp số:
 a)  $(1 ; -1), (2 ; -1), (0 ; 0), (2 ; 0), (0 ; 1), (1 ; 1)$
 b)  $(0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1)$
 c)  $(0 ; 0), (0 ; 1), (3 ; 1), (3 ; 3), (6 ; 3), (6 ; 4)$
 d)  $(1 ; 0), (-1 ; 0)  $

Bài 17:   
Tìm các số nguyên x và y sao cho:
                     ${x^3} + {x^2} + x + 1 = {y^3}$
Hướng dẫn:

Chứng minh $y > x$ rồi xét hai trường hợp:
        $y = x + 1$  và $y > x + 1$

Bài 18:  
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
                         $x! + y! = (x + y)!$
Hướng dẫn:
Giả sử $x \geqslant y$ thì $x! \geqslant y!$. Do đó
 $\begin{array}
  (x + y)! = x! + y! \leqslant 2x!  \\
\Leftrightarrow 2 \geqslant (x + 1)(x + 2)...(x + y)  \\
\end{array} $
Chỉ có $x = 1, y = 1$ thỏa mãn.
Đáp số  $(1 ; 1)$

Bài 19:    
Có tồn tại hay không hai số nguyên dương $x$ và  $y$ sao cho ${x^2} + y$ và ${y^2} + x$ đều là số chính phương?
Hướng dẫn:
Giả sử $y \leqslant x$. Ta có:
                   ${x^2} < {x^2} + y \leqslant {x^2} + x < {(x + 1)^2}$
Vậy không tồn tại hai số thỏa mãn đề bài.

Bài 20:   
Chứng minh rằng có vô số số nguyên $x$ để biểu thức sau là số chính phương:
               $(1 + 2 + 3 + 4 + ... + x)({1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + ... + {x^2})$
Hướng dẫn:
Đặt $(1 + 2 + 3 + 4 + ... + x)({1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + ... + {x^2}) = {y^2}$
Ta có: $\frac{{x(x + 1)}}{2}.\frac{{x(x + 1)(2x + 1)}}{6} = {y^2}$
      $ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{x(x + 1)}}{2}} \right]^2}.\frac{{2x + 1}}{3} = {y^2}$
Phương trình này có vô số nghiệm nguyên:
                   $x = 6{n^2} + 6n + 1$

Bài 21:   
Tìm các số nguyên $x$ để biểu thức sau là số chính phương:
                             ${x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1$
Hướng dẫn:
Giả sử ${x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = {y^2}$
Biến đổi về dạng:
   ${(2y)^2} = {(2{x^2} + x)^2} + 2{x^2} + {(x + 2)^2} > {(2{x^2} + x)^2}$
Nên ${(2y)^2} > {(2{x^2} + x + 1)^2}$
     $ \Rightarrow  - 1 \leqslant x \leqslant 3$.
Xét  $x = -1; 0; 1; 2; 3.$
Đáp số:  $x = -1; x = 0; x = 3 $

Bài 22:   
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
      a)   $x^3 – 3y^3 – 9z^3 = 0$
b)     $8x^4 – 4y^4 + 2z^4 = t^4$
Hướng dẫn:
a)    Dễ thấy $x, y, z$ đều chia hết cho 3.
Đặt  $x = x_1, y = y_1, z = z_1 (x1, y1, z1 \in Z)$, ta được :
              $x_1^3 + 3y_1^3 – 9z_1^3 = 0$
Suy ra $x = y = z = 0$
  b)  Đáp số:   $x = y = z = t = 0   $            

Bài 23:   
Tìm năm sinh của Nguyễn Du, biết rằng vào năm 1786 tuổi của nhà thơ bằng tổng các chữ số năm ông sinh ra.
Hướng dẫn:
Gọi năm sinh của nhà thơ $17xy $
Ta có: $1786 -17xy = 1 + 7 + x + y$ (0 ≤ x ≤8, 0 ≤ y ≤ 9)
 $11x +2y = 78 $
Đáp số: 1766

Bài 24:   
Ba người đi câu được một số cá. Trời đã tối và mọi người đều mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông, mỗi người tìm một nơi lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy, đếm số cá thấy chia 3 thừa 1 con, bèn vứt 1 con xuống sông và xách $\frac{1}{3}$về nhà. Người thứ hai thức dậy, tưởng hai bạn mình còn ngủ, đếm số cá  vứt 1 con xuống sông và xách $\frac{1}{3}$về nhà. Người thứ 3 thức dậy , tưởng mình dậy sớm nhất, lại vứt 1 con xuống sông  và mang $\frac{1}{3}$về nhà.
Tính số cá 3 chàng trai câu được? biết rằng họ câu rất tồi…..
Hướng dẫn:
$\frac{2}{3}\left\{ {\frac{2}{3}\left[ {\frac{2}{3}\left( {x - 1} \right) - 1} \right] - 1} \right\} = y$
$8x - 27y = 38 ( x, y \in N)$
$x = -2 + 27t , y = -2 + 8t$
$\Rightarrow x = 25, y = 6$  (cho $ t = 1$)

Bài 25:   
Tìm điều kiện cần và đủ cho số $k$ để phương trình có nghiệm nguyên.
         $x^2 – y^2 = k$
Hướng dẫn:
Nếu $x^2 –y^2 =k$ có nghiệm nguyên thì $k \ne 4t +2 $
Xét trường hợp $k$ chẵn k lẻ

Bài 26:   
Chứng minh rằng phương trình :
  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{1991}}$ chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương.
Hướng dẫn:
Gỉả sử $0 <x \le y \le z$. Ta có $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{{1991}} \leqslant \frac{3}{x}$
Suy ra $1991 < x \le 3.1991$ nên $x$ có hữu hạn giá trị
Với mỗi giá trị  của $x$ có $y \le\frac{{2.1991x}}{{x - 1991}}$$\le 2^2.1991$ suy ra giá trị tương ứng của $z$ với mỗi gíá trị của $x,y$

Bài 27:   
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$\begin{array}
  a)\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{14}}  \\
b)\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}  \\
\end{array} $
Hướng dẫn:
a) Xét $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$ ($a$ nguyên dương) Với $x \ne 0, y \ne 0$, phương trình tương đương $ax + ay = xy$ hay $(x - a)(y - a) = a^2$.  
Có tất cả $2m -1$ nghiệm, với $m$ là các ước số lớn hơn 0 của $a^2$.
Với $a = 14, a^2 =196$ Có 9 ước số dương và phương trình có 17 nghiệm.

Bài 28:   
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$1! +2! +…… + x! = y^2$
Hướng dẫn:
Thử trực tiếp, thấy $x < 5$, Phương trình có nghiệm, tìm nghiệm
Chứng minh với $x \ge 5$ phương trình vô nghiệm

Bài 29:   
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$xy + 3x – 5y = -3 $
$2x^2 – 2xy – 5x + 5y = -19 $
Hướng dẫn:
a)  $xy + 3x - 5y =  - 3 \Leftrightarrow (x - 5)(y + 3) =  - 18$
Đáp số : $(x;y) =(4;15), ( -13;-2), (3;6), ( 14;-5), (2;3),$
                                $(11,-6), (8;-9), (23 -4), (6;-21), (-1;0), (-4;-1), (7;-13)$
b)   Tương tự

Bài 30:   
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$4x + 11y = 4xy$
$x^2 – 656xy – 657y2 = 1983   $
Hướng dẫn:
$4x + 11y = 4xy \Leftrightarrow (4x - 11)(y - 1) = 1$
 Xét 4 hệ phương trình
Đáp số:  $(x; y) (0;0), (3;12)$
b) ${x^2} - 656xy - 657{y^2} = 1983 \Leftrightarrow (x + y)(x - 657y) = 1983$
Đáp số : $(x;y )=(-4; -1), (4; -1) , (-660 ;-1), (660;1) $

Bài 31:   
Tìm các cặp số nguyên dương $(x ; y)$ thỏa mãn phương trình :
$7x – xy – 3y = 0$
$y^2 = x^2 + 12x – 1923 $
Hướng dẫn:
$7x - 3y - xy = 0 \Leftrightarrow (x + 3)(7 - y) = 21$
Chú ý rằng $x \in {Z^ + }$nên $x +3 \ge 4$, do đó chỉ có hai phuong trình
 Đáp số : $(4;4 ), (8, 16)$

Bài 32:   
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
a)   $x(x + 1)(x +7)(x + 8) = y^2    $
b)   $y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = x^2 $
Hướng dẫn:
$x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = {y^2} \Leftrightarrow ({x^2} + 8x + 7) = {y^2}$
Đặt  $x^2+ 8x = z$ ($z \in Z)$
Ta có : $z(z + 7) = y \Leftrightarrow (2z + 7 + 2y)(2z + 7 - 2y) = 49$
Đáp số : $(0;0), (-1;0), (1;12), (1;-12), (-9;12),$
                                         $(-9; -12),( -8; 0), (-7;0), (-4;12), (-4; 12)$