BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Các phương pháp biện luận phương trình vô tỉ:
1. Phương pháp biến đổi tương đương
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
3. Phương pháp Bất đẳng thức
4. Phương pháp hàm số và đồ thị
5. Phương pháp điều kiện cần và đủ
1. PHƯƠNG PHÁP
BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài toán 1: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp biến đổi tương
đương.
Phương pháp:
- Với các dạng phương trình cơ bản:
Dạng 1: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)} = \sqrt {g\left(
{x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right) \geqslant 0
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \in D} \\
{f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{(*)} \\
{(1)}
\end{array}$
Khi đó bài toán trở thành “ Biện luận phương trình (1) với điều kiện (*)”
Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của $f\left( {x,m}
\right) \geqslant 0$ và $g\left( {x,m} \right) \geqslant 0$, thí vụ với phương
trình
$\sqrt {x - m} = \sqrt {{x^2} - 2mx + 3} $
Ta lựa chọn phép biến đổi:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - m \geqslant 0} \\
{x - m = {x^2} - 2mx + 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant m} \\
{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 3 + m = 0}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{(*)} \\
{(1)}
\end{array}$
Dạng 2: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)} = g\left( {x,m}
\right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
{f\left( {x,m} \right) = {g^2}\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu ý rằng: Không cần đặt điều kiện $g\left( x \right) \geqslant 0$
Dạng 3: Phương trình :$\sqrt[{}]{{f\left( {x,m} \right)}} + \sqrt {g\left(
{x,m} \right)} = \sqrt {h\left( {x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
{g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
{f\left( {x,m} \right) + g\left( {x,m} \right) + 2\sqrt {f\left( {x,m}
\right)g\left( {x,m} \right)} = h\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu ý rằng: Cần điều kiện f(x), g(x), h(x) có nghĩa và không cần h(x) $
\geqslant 0$
Ví dụ 1:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1} - x =
m$ $\left( 1 \right)$
Giải:
Ta có:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = x + m
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + m \geqslant 0} \\
{{x^2} - 1 = {{\left( {x + m} \right)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant - m} \\
{2mx = - {m^2} - 1}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{} \\
{(2)}
\end{array}$ (I)
Với m =0
Khi đó (2) vô nghiệm $ \Rightarrow $ (1) vô nghiệm
Với m$ \ne 0$
Khi đó (I) có nghiệm $ \Leftrightarrow $(2) có nghiệm thỏa mãn$x
\geqslant - m$
$ \Leftrightarrow - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}} \geqslant - m
\Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[
{\begin{array}{*{20}{l}}
{m \geqslant 1} \\
{ - 1 \leqslant m < 0}
\end{array}} \right.$
Kết luận :
- Với $m \geqslant 1$ hoặc $ - 1 \leqslant m < 0$, phương trình có nghiệm $x
= - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}$
- Với $m < - 1$hoặc $0 \leqslant m < 1$, phương trình vô nghiệm.
2. PHƯƠNG PHÁP
ĐẶT ẨN PHỤ
Bài toán 2: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp:
Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất
thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa
chọn một trong các phương pháp sau:
* Sử dụng tam thức bậc hai, thí dụ:
$t = \sqrt {{x^2} - 2x + 5} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} +
4} \geqslant 2$
* Sử dụng các bất đẳng thức, thí dụ:
$t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} $
Khi đó:
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} } \right)^2} \leqslant
\left( {3 + x + 6 - x} \right)\left( {1 + 1} \right) = 18 \Rightarrow t
\leqslant 3\sqrt 2 $
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} } \right)^2} = 3 + x + 6
- x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \geqslant 9
\Rightarrow t \geqslant 3\sqrt 2 $
Vậy điều kiện cho ẩn phụ là $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
- Sử dụng đạo hàm, thí dụ được minh họa trong ví dụ 3 phía
dưới.
Ví dụ 2.
Cho phương trình: $\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt
{\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = m$
a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 + x \geqslant 0} \\
{6 - x \geqslant 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow - 3 \leqslant x \leqslant 6$
Đặt $t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} $. Ta đi tìm điều kiện đúng cho ẩn
phụ bằng cách:
Xét hàm số $t = \sqrt {3 + x} + \sqrt[{}]{{6 - x}}$
* Miền xác định D= $\left[ { - 3,6} \right]$
* Đạo hàm:
$t' = \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt[{}]{{6 - x}}}}$
$t' = 0 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }} =
0 \Leftrightarrow \sqrt {3 + x} = \sqrt[{}]{{6 - x}} \Leftrightarrow x =
\frac{3}{2}$
Ta có bảng biến thiên và rút ra điều kiện của t là $3 \leqslant t \leqslant
3\sqrt 2 $
Suy ra : $\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} =
\frac{{{t^2} - 9}}{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
$t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 9 + 2m$=0
a. Với m = 3, phương trình (3) có dạng:
${t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = - 1} \\
{t = 3}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{(1)} \\
{}
\end{array}$
Với t = 3, thay vào (2) được:
$\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow
\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[
{\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 3} \\
{x = 6}
\end{array}} \right.$
Vậy, phương trình có nghiệm là x = -3 hoặc x = 5
b. Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow (3)$có ít nhất một nghiệm $3
\leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(3)} \\
{(3)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow f\left( 3 \right).f\left( {3\sqrt 2 }
\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2 - 9}}{2} \leqslant m
\leqslant 3$
Ví dụ 3.
Cho phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 4(x - 3)\sqrt
{\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} = m$
a. Giải phương trình với m = -3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\frac{{x + 1}}{{x - 3}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{x \leqslant - 1}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} $, suy ra $(x -
3)(x + 1) = {t^2}$
Khi đó phương trình có dạng: ${t^2} + 4t - m = 0$
a. Với m = -3 , phương trình (2) có dạng:
Với $t = - 3$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x +
1}}{{x - 3}}} = - 3$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3 < 0} \\
{(x - 3)(x + 1) = 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{{x^2} - 2x - 12 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{x = 1 \pm \sqrt {13} }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {13} } \right.} \right.} \right.$ $ $
Với $t = - 1 \Leftrightarrow (x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}
= - 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3 < 0} \\
{(x - 3)(x + 1) = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 3} \\
{{x^2} - 2x - 4 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 3} \\
{x = 1 \pm \sqrt 5 }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 5 } \right.} \right.} \right.$
Vậy với m = -3, phương trình có hai nghiệm x = 1-$\sqrt {13} $ và x = 1-$\sqrt
5 $
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Phương trình (1) có nghiệm $ \Rightarrow $ (2) có nghiệm $ \Leftrightarrow $ $\Delta
' \geqslant 0 \Leftrightarrow 4 + m \geqslant 0 \Leftrightarrow m
\geqslant - 4$
Giả sử khi đó (2) có nghiệm là ${t_0}$ thì ${t_0} = (x - 3)\sqrt {\frac{{x +
1}}{{x - 3}}} $
Với ${t_0} = 0 \Rightarrow x = - 1$
Với $t_0^{} > 0$ suy ra
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3 > 0} \\
{(x - 3)(x + 1) - {t_0}^2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt {4 + {t^2}_0} $
Với ${t_0} < 0$ suy ra:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3 < 0} \\
{(x - 3)(x + 1) - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 3} \\
{{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 3} \\
{x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {4 - {t^2}_0} $
Tóm lại: với m $ \geqslant $ 4 phương trình (1) có nghiệm.
3. PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG
THỨC
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình có nghiệm:
$\sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x - 1} = m$
Giải:
Ta có:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét
${\rm A}\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);{\rm B}\left(
{\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ và điểm M(x; o)
Ta có
AB = 1
Với mọi điểm M thì $\left| {{\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M}} \right| < {\rm
A}{\rm B} = 1$
Mà ${\rm A}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left(
{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} $
$\begin{array}
{\rm B}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} +
{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \\
\Leftrightarrow {\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M} = m \\
\end{array} $
Do đó phương trình đã cho có nghiệm $ \Leftrightarrow \left| m \right| < 1$
$ \Leftrightarrow - 1 < m < 1$
Ví dụ 2:
Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt {2 + x} + \sqrt {4 - x} - \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = a$
Giải:
ĐK: $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Phương trình đã cho tương đương với.
$\sqrt {2 + x} + \sqrt {4 - x} - \sqrt {(2 + x).(4 - x)} = a$
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x0, ta có:
$\begin{array}
\sqrt {2 + {x_0}} + \sqrt {4 - {x_0}} - \sqrt {(2 +
{x_0}).(4 - {x_0})} = a \\
\Leftrightarrow \sqrt {2 + (2 - {x_0})} + \sqrt {4 - (2 -
{x_0})} - \sqrt {2 + (2 - {x_0})(4 - (2 - {x_0})} = a \\
\end{array} $
Vậy x = 2 – x0 cùng là nghiệm của phương trình
Phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 2 - x0 $ \Leftrightarrow $ x0 =1
Khi đó $a = 2\sqrt 3 - 3$
Điều kiện đủ: với $a = 2\sqrt 3 - 3$, ta có phương trình
$\sqrt {2 + x} + \sqrt {4 - x} - \sqrt {(2 + x)(4 - x)} =
2\sqrt 3 - 3$ (*)
Áp dụng bất đẳng thức: ${\left( {a + b} \right)^2} \leqslant 2({a^2} + {b^2})$
có:
$\begin{array}
{\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {4 - x} } \right)^2} \leqslant 2(2
+ x + 4 - x) = 12 \\
\Rightarrow \sqrt {2 + x} + \sqrt {4 - x} \leqslant
\sqrt {12} = 2\sqrt 3 \\
\end{array} $
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: 2 + x và 4 – x có
$\begin{array}
\frac{{(2 + x) + (4 - x)}}{2} \geqslant \sqrt {(2 + x)(4 -
x)} \\
\Rightarrow - \sqrt {(2 + x)(4 - x)} \geqslant -
3 \\
\end{array} $
Vậy $\sqrt {2 + x} + \sqrt {4 - x} - \sqrt {(2 + x)(4 - x)} =
2\sqrt 3 - 3$ (1)
Do đó để đẳng thức (*) thì dấu “=” trong (1) xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2 \leqslant x \leqslant 4} \\
{\sqrt {2 + x} = \sqrt {4 - x} } \\
{2 + x = 4 - x}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 3 - 3}
\right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 3:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x + \sqrt {1 - x} =
m$ (*)
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (*) có nghiệm duy nhất là x = x0
Ta có: $\sqrt[4]{{{x_0}}} + \sqrt[4]{{1 - {x_0}}} + \sqrt {{x_0}} + \sqrt
{1 - {x_0}} = m$
$ \Rightarrow x = 1 - {x_0}$ cũng là nghiệm của phương trình (*)
Vì là nghiệm duy nhất nên ${x_0} = 1 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} =
\frac{1}{2}$
Thay vào (*) ta được $m = \sqrt 2 + \sqrt[4]{8}$ vào (*) ta được:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x + \sqrt {1 - x} = \sqrt
2 + \sqrt[4]{8}$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S thì:
$\sqrt x + \sqrt {1 - x} \leqslant 2$ (Dấu “=” xảy ra $
\Leftrightarrow x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$)
$ \Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x + \sqrt {1 -
x} = \sqrt 2 + \sqrt[4]{8}$
Vậy (1) $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{2}$
Để (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là $m = \sqrt 2 +
\sqrt[4]{8}$
4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Nếu phương trình ban đầu có thể chuyển về dạng: f(x, m) = g(m) ta có thể lựa chọn
phương pháp hàm số để giải. Cụ thể:
Bài toán 3:
Sử dụng phương pháp
hàm số giải phương trình:
f(x, m) =
g(m)
(1)
Phương pháp:
Chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lập luận: số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
(C ) : y = f(x,m) và đường thẳng (d) : y = g(m).
Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)
Tìm miền xác định D.
Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0
Bước 3: Kết luận:
Phương trình có nghiệm: $ \Leftrightarrow {\min _{x \in D}}f(x,m) \leqslant
g(m) \leqslant {\max _{x \in D}}f(x,m)$
Phương trình có k nghiệm phân biệt: $ \Leftrightarrow (d)$cắt (C ) tại điểm k
phân biệt
Phương trình vô nghiệm : $ \Leftrightarrow (d) \cap (C) = \varphi $
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình :
$\sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} =
m$
(1) có nghiệm.
Giải:
Xét hàm số y = f(x) = $\sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} $
Miền xác định: D1= R
Đạo hàm:
$y' = \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt
{{x^2} - x + 1} }}$
$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x
- 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} = 0$
$ \Leftrightarrow (2x - 1)\sqrt {{x^2} + x + 1} = (2x + 1)\sqrt {{x^2} -
x + 1} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(2x - 1)(2x + 1) > 0} \\
{{{(2x - 1)}^2}({x^2} + x + 1) = {{(2x + 1)}^2}({x^2} - x + 1)}
\end{array}} \right.$ (vn)
Mặc khác y’ (0)$ \Rightarrow $ y’>0 $\forall $x nên hàm số đồng biến.
Giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to
\infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}
= - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to
\infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}
= 1$
Từ đó ta có bảng biến thiên và rút ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
-1<m<1
Bằng phép đặt ẩn phụ y để chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn x, y ta có
thể giải phương trình bằng phương pháp đồ thị. Ta trình bày dưới dạng bài toán
sau:
Bài toán 4:
Sử dụng phương pháp đồ thị giải phương trình :
f(x, m) =
g(m) (1)
Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt y = f(x,m), khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = f(x,m)} \\
{y = g(x,m)}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{({C_1})} \\
{({C_2})}
\end{array}$
Bước 2: Bằng việc xét vị trí tương đối của hai đường (C1) và (C2) ta có được
kết luận về nghiệm của phương trình.
Lưu ý: Thông thường nếu (C1) là
phương trình đường thẳng thì (C1) có thể là phương trình đường tròn, Elíp,
Hyperbol hoặc Parabol (cũng có trường hợp (C1) và (C2¬) đều là phương trình
đường tròn).
Ví dụ 2:
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình $\sqrt {1 - {x^2}} = x
- m$
Giải:
Đặt $y = \sqrt {1 - {x^2}} $, điều kiện y$ \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} = 1} \\
{x - y} \\
{y \geqslant 0}
\end{array} = m} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{(2)} \\
{(3)} \\
{}
\end{array}$
Phương trình (2) là phương trình đường tròn đơn vị (C) có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{O(0,0)} \\
{R = 1}
\end{array}} \right.$
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất x-y=0. Ta đi tìm hai vị trí giới hạn cho (d) là:
* A(1,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m = 1$ & B(-1,0)
$ \in $(d) $ \Leftrightarrow $m=-1
* (d) tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C )
$ \Leftrightarrow d(O,(d) = R \Leftrightarrow \frac{{\left|
{ - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = - \sqrt 2 } \\
{m = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{} \\
{(1)}
\end{array}$
Vậy:
- Với $m < - \sqrt 2 $hoặc m > 1 thì (C )$ \cap
(d) = \varphi \Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm
- Với $m = - \sqrt 2 $ hoặc -1< m < 1 thì (C ) $
\cap (d) = \left\{ A \right\} \Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất.
- Với $ - \sqrt 2 < m \leqslant - 1$ thì (C )
$ \cap (d) = \left\{ {A,B} \right\}$ $ \Leftrightarrow (1)$có 2 nghiệm phân
biệt.
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp đường tròn (C ) có tâm I$
\ne $O
Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và biến đổi
tương đương, như sau:
Phương pháp lượng giác hóa
Đặt x = sin với $\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant
\frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
Cost = sint-m$ \Leftrightarrow $sint-cost = m
$ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{{4)}} =
\frac{m}{{\sqrt 2
}}$
(4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow
- \frac{{3\pi }}{4} \leqslant t - \frac{\pi }{4} \leqslant \frac{\pi }{4}$, từ
đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm
của đường thẳng ($\Delta ):y = \frac{m}{{\sqrt 2 }}$ với cung tròn AB.
Ví dụ 3:
Biện luận theo số nghiệm của phương trình $\sqrt {12 - 3{x^2}} $= $x -
m$
(1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {12 - 3{x^2}} $, điều kiện $y \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1} \\
{x - y = m}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{(2)} \\
{(3)}
\end{array}$ (với y$ \geqslant 0$)
Phương trình (2) là phương trình Elíp (E) có tâm I góc O
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất x - y = 0. Ta đi tìm hai vị trì tới hạn cho (d) là:
* A (2,0) $ \in $ (d)$ \Leftrightarrow m = 2$ & B(-2,0)
$ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m = - 2$
* (d) tiếp xúc với nửa trên của Elíp (E) nhớ lại A2a2 + B2b2
= C2)
$ \Rightarrow 1.4 - {( - 1)^2}.12 = {m^2} \Leftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = - 4} \\
{m = 4}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{} \\
{(1)}
\end{array}$
Vậy:
- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E) $ \cap $(d) $ $=$\varphi
\Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm.
- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ A \right\}
\Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất
- Với -4 < m $ \leqslant $ -2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ {A,B} \right\}
\Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Elíp (E) có tâm I$
\ne O$.
Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và phương
pháp biến đổi tương đương như sau:
Phương pháp lượng giác hóa:
Đặt x = 2sint với $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
$2\sqrt 3 $ cost = 2sint - m$ \Leftrightarrow $2sint -
2$\sqrt 3 $cost = m
$ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{3}) =
\frac{m}{4}$ (4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}
\Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{6} \leqslant t - \frac{\pi }{3}
\leqslant \frac{\pi }{6}$, từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của
phương trình là số giao điểm của đường thẳng y =$\frac{m}{4}$ với cung tròn AB.
Ví dụ 4:
Biện luận theo m số nghiệp của phương trình $\sqrt {{x^2} - 9} = x
- m$ (1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {{x^2} - 3} $, điều kiện y $ \geqslant $ 0
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1} \\
{x - y = m}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{(2)} \\
{(3)}
\end{array}$ (Với y $ \geqslant $ 0)
Phương trình (2) là phương trình Hyperbol (H) có tâm là gốc O.
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất x-y = 0 và cũng chính là tiệm cận của (H). Ta đi tìm hai
vị trí tới hạn cho (d) là:
• A (3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = 3
• B (-3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = -3
Vậy:
- Với -3 < m $ \leqslant 0$ hoặc m > 3 thì (H)$ \cap $(d) = $\varphi $ $
\Leftrightarrow (1)$vô nghiệm.
- Với m$ \leqslant $-3 hoặc 0$ \leqslant m \leqslant 3$ thì (H) $ \cap $(d)
=$\left\{ A \right\}$ $ \Leftrightarrow $ $(1)$ có nghiệm duy nhất
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Hyperbol (H) có tâm I$
\ne $O
Ví dụ 5:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1} = (2m + 1)x + {m^2} +
m + 1$ với x$ \geqslant $ -m
Giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
${x^2} - 1 + \sqrt {{x^2} - 1} = {(x + m)^2} + x + m$
Xét hàm số f(t) = t2 + t với t $ \geqslant 0$ là hàm đồng biến
Khi đó:
(2) $ \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right) =
f(x + m) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = x + m$
Đến đây bạn đọc làm lại như trong ví dụ 1.
5. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
Bài toán 5: Giải phương trình trị tuyệt đối chứa tham số bằng phương pháp điều
kiện cần và đủ.
Phương pháp:
Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp bài toán tìm
điều kiện tham số để.
1. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm duy nhất.
2. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm với mọi giá trị của một tham số.
3. Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình
khác.
Khi đó ta thực hiện theo các bước.
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa.
Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối
xứng của hệ.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ. Trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ
bản.
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x + \sqrt {2
- x} =
m$
(1)
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm là x = x0 $ \Rightarrow $2- x0 cũng là nghiệm của
(1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = 2-x0 = 1
Thay x0 = 1 vào (1), ta được: m = 4.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:
Với m = 4, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x + \sqrt {2 - x} =
4$
(2)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta được:
$\sqrt x + \sqrt {2 - x} \leqslant 2$ &
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} \leqslant 2$
Do đó:
(2) $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt x + \sqrt {2 - x} = 2} \\
{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} = 2}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow $x = 1 là nghiệm duy nhất của phương
trình.
Vậy với m = 4 phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2:
Cho 2 phương trình:
$(x + 5)(2 - x) = 3m\sqrt {{x^2} + 3x + m - 1} $
${x^4} + {6^3} + 9{x^2} - 16 = 0$
Tìm m để (1) và (2) tương đương
Giải:
${({x^2} + 3x)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 4)({x^2} + 3x + 4) = 0
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = - 4}
\end{array}} \right.$
Điều kiện cần:
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 1 là nghiệm của (1) khi đó:
$(1) \Leftrightarrow 6 = 3m\sqrt {m + 3} \Leftrightarrow \left[
{\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{4 = {m^2}(m + 3)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{{m^3} + 3{m^2} - 4 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{(m - 1)({m^2} + 4m + 4) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.$
Vậy m = 1 là đều kiện cần để (1) và (2) tương đương.
Điều kiện đủ
Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
$ - {x^2} - 3x + 10 = 3\sqrt {{x^2} + 3x}
$
(3)
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 3x} $, điều kiện $t \geqslant 0$
Khi đó:
(3) $ \Leftrightarrow {t^2} + 3t - 10 = 0 \Leftrightarrow
\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = - 5} \\
{t = 2}
\end{array}\begin{array}{*{20}{l}}
{(1)} \\
{}
\end{array} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x} = 2 \Leftrightarrow {x^2}
+ 3x = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = - 4}
\end{array}} \right.} \right.$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.
Chú ý: Chúng ta đã thấy tồn tại những phương trình chứa căn thức mà tập nghiệm
của nó là một khoảng, do đó một phương trình chứa căn thức có thể tương đương
với một bất phương trình. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 3:
Cho phương trình và bất phương trình:
$\sqrt {x - 1 + 2m\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x - 1 -
2m\sqrt {x - 2} } =
2$
(1)
$\left| {{x^2} + 3x + 2} \right| \leqslant {x^2} + 2x + 5$
Tìm m để (1) và (2) tương
đương
(2)
Giải:
Điều kiện cần
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 3 là nghiệm của (1), khi đó:
(1) $ \Leftrightarrow \sqrt {2 + 2m} + \sqrt {2 - 2m} = 2
\Leftrightarrow \sqrt {4 - 4{m^2}} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$
Vậy m = $ \pm $1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương:
Điều kiện đủ: Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} }
= 2 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x
- 2} - 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2} + 1}
\right| + \left| {1 - \sqrt {x - 2} } \right| = \left| {\left( {\sqrt {x -
2} + 1} \right) + \left( {1 - \sqrt {x - 2} } \right)} \right|$
$ \Leftrightarrow (\sqrt {x - 2} + 1)(1 - \sqrt {x - 2)} \geqslant
0 \Leftrightarrow 1 - (x - 2) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 3$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Với m = -1 tương tự (hoặc có thể nhận xét về tính đối xứng của m trong phương
trình).
* Vậy với m = $ \pm $ 1 thì (1) và (2) tương đương.