A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và hàm số y=g(x) có đồ thị (C2). Xét sự tương giao của (C1) và (C2) theo các bước.
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f(x)=g(x)f(x)−g(x)=0(1)
+ Biện luận số giao điểm của (C1) và (C2) qua nghiệm của PT (1)
Nếu (1) vô nghiệm thì (C1) không cắt (C2)
Nếu (1) có nghiệm bội chẵn (dạng (x−a)2n.F(x)=0) thì (C1) tiếp xúc với (C2)
Nếu (1) có n nghiệm đơn thì (C1) cắt (C2) tại n điểm phân biệt
2. Điều kiện (C1) và(C2) tiếp xúc nhau còn có thể thể hiện thông qua sự kiện hệ phương trình sau có nghiệm
{f(x)=g(x)f′(x)=g′(x)(2)
HPT (2) có bấy nhiêu nghiệm thì hai đồ thị tiếp xúc nhau tại bấy nhiêu điểm.
3. Có ba phương pháp cơ bản để giải quyết các bài toán dạng này:
+ Phương pháp nhẩm nghiệm: Thường là nhẩm nghiệm hữu tỷ.
+ Phương pháp đồ thị : Dựa vào hình dáng đồ thị và cực trị của hàm số.
+ Phương pháp hàm số: Chuyển về bài toán tương giao mới.
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
Ví dụ 1. Cho hàm số (C_m) : y = x^3 – 3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)
Tìm m để (C_m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
Lời giải:
Phương trình biểu diễn trục hoành có dạng y=0 nên PT biểu diễn sự tương giao của (C_m) và trục hoành là :
x^3 – 3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)=0
Nhận thấy x=2 thỏa mãn PT này nên trước hết ta phân tích để tạo ra nhân tử x-2 ở vế trái của PT.
PT \Leftrightarrow x^3 – 2x^2-(3m+1)x^2+6(3m+1)x+2m(m+1)x-4m(m+1)=0
\Leftrightarrow (x-2)\left[ {x^2-(3m+1)x+2m(m+1)} \right]=0
Tiếp tục phân tích với nhận xét x=2m là nghiệm của PT.
PT \Leftrightarrow (x-2)\left[ {x^2-2mx-(m+1)x+2m(m+1)} \right]=0
\Leftrightarrow (x-2)(x-2m)(x-m-1)=0
\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\\x=2m\\x=m+1 \end{matrix}} \right.
Như vậy, yêu cầu bài toán \Leftrightarrow
\boxed{\displaystyle\begin{cases}m>\frac{1}{2} \\m \ne 1 \end{cases}}.
Ví dụ 2. (Đại học Khối D-2006)
Cho (C): y=x^3-3x+2. Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) có hệ số góc m.
Tìm m để đường thằng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng, (d): y=m(x-3)+20.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là
x^3-3x+2=m(x-3)+20
\Leftrightarrow x^3-3x-18=m(x-3)
\Leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+6)=m(x-3)
\Leftrightarrow (x-3)(\underbrace{x^2+3x+6-m}_{\displaystyle g(x)})=0 (1)
Như vậy ta cần PT (1) có ba nghiệm phân biệt, tức là PT g(x)=0 có hai nghiệm phận biệt và khác 3.
Viết thành \begin{cases}\Delta_g > 0 \\ g(3) \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4m-15>0 \\ 24-m \ne 0\end{cases}\Leftrightarrow
\boxed{\displaystyle\begin{cases}m>\frac{15}{4} \\ m \ne 24\end{cases}}
Ví dụ 3. Cho hàm số (C_m) : y=x^3-2mx^2+(2m^2-1)x+m(1-m^2)
Tìm m để (C_m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Lời giải :
Xét phương trình tương giao :
x^3-2mx^2+(2m^2-1)x+m(1-m^2)=0
\Leftrightarrow (x-m)\underbrace{(x^2-mx+m^2-1)}_{\displaystyle g(x)}=0
Yêu cầu bài toán trở thành m>0 và PT g(x)=0 có hai nghiệm dương phân biệt khác m.
\Leftrightarrow
\begin{cases}m>0 \\ \Delta_g
>0\\P=x_1x_2=\frac{c}{a}>0\\S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\g(m) \ne 0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m>0 \\ 4-3m^2
>0\\m^2-1>0\\m>0\\m^2-1 \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\boxed{\displaystyle1<m< \frac{2}{\sqrt{3}}}.
Ví dụ 4. (Đại học Khối A-2010)
Cho hàm số (C_m) : y=x^3-2x^2+(1-m)x+m
Tìm
m để (C_m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x_1,
x_2, x_3 thỏa mãn điều kiện x_1^2+ x_2^2+ x_3^2 <4.
Lời giải :
Xét phương trình tương giao :
x^3-2x^2+(1-m)x+m=0
\Leftrightarrow (x-1)\underbrace{(x^2-x-m)}_{\displaystyle g(x)}=0
Trước hết để (C_m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì PT g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
\Leftrightarrow
\begin{cases} \Delta_g >0\\g(0) \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}1+4m>0 \\-m \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}m>-\frac{1}{4} \\ m \ne 0\end{cases}.
Nhận thấy ở ký hiệu ban đầu của bài toán thì x_1=1 và x_2, x_3 là các nghiệm của PT g(x)=0.
Như vậy,
x_1^2+
x_2^2+ x_3^2 <4\Leftrightarrow x_2^2+ x_3^2 <3\Leftrightarrow
(x_2+x_3)^2-2x_2x_3<3\underbrace{\Leftrightarrow}_{\displaystyle
\text {Vi-ét}} (1)^2-2.(-m) <3\Leftrightarrow 1+2m<3\Leftrightarrow m<1.
Tóm lại, \boxed{\displaystyle\begin{cases}1>m>-\frac{1}{4} \\ m \ne 0\end{cases}}.
Ví dụ 5.
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (C):
y=-x^3-3x^2+4 cắt đường thẳng (d) :y=m+2 tại 1 điểm, 2 điểm, 3
điểm phân biệt.
Lời giải :
Xét phương trình tương giao :
-x^3-3x^2+4=m+2
Thực hiện thao tác khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) ta thu được bảng biến thiến
\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & \; & \; & -2 & \; & \;& 0 & \; & +\infty\\ \hline y' & \; & - & \; & 0 & \; & + & 0 & - &\; \\ \hline \quad & +\infty \; & \; & & \; & \; & &4 &\; &\; \\ f(x) & \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; &\;& \searrow & \; \\ & \; & \; &&0 & \; & \: & \; & &-\infty \end{array}
Chú ý rằng y=m+2 là dạng những đường thẳng song song với trục hoành. Vì thế, dựa vào bảng biến thiên ta có
(C)
cắt (d) tại 1 điểm nếu \left[ {\begin{matrix} m+2>4\\ m+2<0
\end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m>2\\
m<-2 \end{matrix}} \right..
(C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt nếu \left[ {\begin{matrix} m+2=4\\
m+2=0 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}
m=2\\ m=-2 \end{matrix}} \right..
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt nếu 0<m+2<4\Leftrightarrow -2<m<2.
Ví dụ 6.
Cho hàm số (C_m) : y=x^4-(3m+2)x^2+3m
Tìm m để (C_m) cắt đường thẳng y=-1 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Lời giải:
Xét phương trình tương giao :
x^4-(3m+2)x^2+3m=-1\underbrace{\Leftrightarrow }_{\displaystyle t=x^2}t^2-(3m+2)t+3m+1=0
Yêu cầu bài toán tương đương với PT t^2-(3m+2)t+3m+1=0 có hai nghiệm dương và bé hơn 4.
Mặt khác t^2-(3m+2)t+3m+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=2\\ t=3m+1 \end{matrix}} \right.
Từ
đó suy ra : \begin{cases}3m+1 \ne 1\\ 0<3m+1<4
\end{cases}\Leftrightarrow \boxed{ \displaystyle
\begin{cases}-\frac{1}{3} < m < 1 \\m \ne 0 \end{cases}}.
Bài tập tương tự
1. Cho đường cong y=-x^3+3x^2 (C) và đường thẳng y=-k^3+3k^2. Tìm k để chúng cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn : Xét PT tương giao
-x^3+3x^2=-k^3+3k^2\Leftrightarrow (x-k)\left[ {x^2+x(k-3)+k^2-3k} \right]=0.
Đáp số : \begin{cases}-1<k<3\\ k \ne 0; k \ne 2 \end{cases}.
2. Cho hàm số (C_m) : y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)
Tìm m để (C_m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3.
Hướng dẫn: Xét phương trình tương giao :
x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)=0
\Leftrightarrow (x-2)\underbrace{(x^2+2mx-m^2-1)}_{\displaystyle g(x)}=0
Ta cần có \Leftrightarrow
\begin{cases} \Delta'_g=m^2+m+1
>0\\(3-x_1)(3-x_2)>0\\x_1+x_2<6\\g(2) \ne 0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 9-3(x_1+x_2)+x_1x_2>0\\x_1+x_2<6\\-m^2+4m+3 \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}3-\sqrt {17} < m < 3+ \sqrt{17} \\ m \ne 2 \pm \sqrt {17} \end{cases}.
|