Phương pháp $1$. Dùng định nghĩa để khử dấu phần nguyên
$[x]=n\Leftrightarrow \begin{cases}n \in \mathbb{Z} \\ n \le x <n+1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}n \in \mathbb{Z} \\ 0 \le x- n<1 \end{cases}$
Ví dụ $1$. Giải phương trình
$\left[ {\frac{3x+1}{5}} \right]=2x-1 (1)$
Lời giải :
PT $(1)\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ 0 \le \frac{3x+1}{5}- 2x+1<1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ 0 \le \frac{-7x+6}{5}<1 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ 0 \le -7x+6<5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ \frac{1}{7} < x \le\frac{6}{7} \end{cases}\Leftrightarrow x =\frac{1}{2} $
Vậy nghiệm của PT $(1)$ là $x =\frac{1}{2} $.
Ví dụ $2$. Tìm nghiệm nguyên của PT
$\left[ {\frac{x}{2}} \right]+\left[ {\frac{x}{3}} \right]=17 (2)$
Lời giải :
Ta có :
$\begin{cases}0 \le \frac{x}{2}-\left[ {\frac{x}{2}} \right] <1 \\ 0 \le \frac{x}{3}-\left[ {\frac{x}{3}} \right] <1 \end{cases}\Rightarrow 0 \le \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\left (\left[ {\frac{x}{2}} \right]+\left[ {\frac{x}{3}} \right] \right ) < 2$
$\Rightarrow 0 \le \frac{5x}{6}-17 <2\Rightarrow 102 \le 5x < 114\Rightarrow \frac{102}{5} \le x <\frac{114}{5}$.
Kết hợp với $x \in \mathbb{Z}$, ta được $x=21, x=22$.
Tóm lại : $x=21$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của $(2)$ là $x=21$.
Ví dụ $3.$ Giải phương trình
$[x]^2-2[x]-3=0 (3)$
Lời giải :
PT $(3)\Leftrightarrow [x].\left ([x]-2 \right )=3=3.1=(-1).(-3)$
Do $[x]$, $[x] -2$ là các số nguyên và $[x]>[x] -2$ nên $\left[ {\begin{matrix} [x]=3\\ \left[ {x} \right]=-1 \end{matrix}} \right.$
Nếu $ [x]=3\Leftrightarrow 3 \le x < 4$.
Nếu $ [x]=-1\Leftrightarrow -1 \le x < 0$.
Vậy tập nghiệm của PT $(3)$ là : $[3, 4) \cup [-1,0)$.
Phương pháp $2.$ Đặt ẩn phụ để khử dấu phần nguyên.
Ví dụ $4.$ Giải phương trình
$\left[ {\frac{7x-5}{3}} \right]=\frac{16x+3}{5} (4)$
Lời giải :
Đặt $\frac{16x+3}{5}=y, (y \in \mathbb{Z})$, ta có
$16x+3=5y\Rightarrow x=\frac{5y-3}{16}\Rightarrow \frac{7x-5}{3}=\frac{35y-101}{48}$
Do đó
PT
$\Leftrightarrow \left[ {\frac{35y-101}{48}} \right]=y\Leftrightarrow 0
\le \frac{35y-101}{48}-y<1\Leftrightarrow 0 \le -13y-101 < 48$
$\Leftrightarrow \frac{-101}{13} \ge y >\frac{149}{13}\Leftrightarrow y \in\left\{ -8; -9;-10;-11{} \right\}$ do $y \in \mathbb{Z}$.
Với $y=-8$ thì $\frac{16x+3}{5}=-8\Leftrightarrow x=-\frac{43}{16}$.
Với $y=-9$ thì $\frac{16x+3}{5}=-9\Leftrightarrow x=-3$.
Với $y=-10$ thì $\frac{16x+3}{5}=-10\Leftrightarrow x=-\frac{53}{16}$.
Với $y=-11$ thì $\frac{16x+3}{5}=-11\Leftrightarrow x=-\frac{58}{16}$.
Vậy tập nghiệm của PT $(4)$ là : $\left\{ {-\frac{43}{16};-3;-\frac{53}{16};-\frac{58}{16}} \right\}$.
Ví dụ $5.$ Giải phương trình
$x^2-6[x]+5=0$
Lời giải :
Đặt $[x]=y (y \in \mathbb{Z} )$ thì từ $(5)$ ta có $6y=x^2+5$.
Suy ra $y>0$. Lại có $y \le x < y+1$ nên $y^2+5 \le x^2+5 <y^2+2y+6\Leftrightarrow y^2+5 \le 6y <y^2+2y+6$
$\Leftrightarrow \begin{cases}y^2-6y+5 \le 0 \\ y^2-4y+6>0 \end{cases}\Leftrightarrow 1 \le y \le 5.$
Do $y \in \mathbb{Z}$ và $1 \le y \le 5$ nên $y \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$.
Với $y=1$ thì $\begin{cases} \left[ {x} \right]=1 \\ x^2=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=1.$
Với $y=2$ thì $\begin{cases}[x]=2 \\ x^2=7 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2 \le x<3 \\ x=\pm \sqrt 7 \end{cases}\Leftrightarrow x=\sqrt 7.$
Với
$y=3$ thì $\begin{cases}[x]=3 \\ x^2=13 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}3 \le x<4 \\ x=\pm \sqrt {13} \end{cases}\Leftrightarrow
x=\sqrt {13}.$
Với $y=4$ thì $\begin{cases}[x]=4 \\ x^2=19 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}4 \le x<5 \\ x=\pm \sqrt {19} \end{cases}\Leftrightarrow
x=\sqrt {19}.$
Với $y=5$ thì $\begin{cases}[x]=5 \\ x^2=25 \end{cases}\Leftrightarrow x=5.$
Vậy tập nghiệm của PT $(5)$ là $\left\{ {1,\sqrt{7},\sqrt{13},\sqrt{19},5} \right\}$.
Phương pháp $3$. Xét khoảng các giá trị của biến để khử dấu phần nguyên. Với chú ý rằng nếu $x \ge y$ thì $[x] \ge [y]$.
Ví dụ $6.$ Giải phương trình
$x^4=2x^2+[x]$
Lời giải :
PT $(6)\Leftrightarrow [x]=x^2(x^2-2).$
Ta xét các trường hợp sau :
* Nếu $x^2=2$ thì $\begin{cases}x=\pm \sqrt 2 \\ \left[ {x} \right]=0 \end{cases}\Leftrightarrow $ không tồn tại $x$.
*
Nếu $x^2<2$ thì $\begin{cases}- \sqrt 2 <x<\sqrt 2\\ \left[
{x} \right]\le 0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}
[x]=0\\\left[ {x} \right]=-1 \end{matrix}} \right.$
Với $[x]=0$ thì $\begin{cases}x^2(x^2-2)=0 \\0 \le x <1 \end{cases}\Leftrightarrow x=0$;
Với $[x]=-1$ thì $\begin{cases}x^4-2x^2+1=0 \\-1 \le x <0 \end{cases}\Leftrightarrow x=-1$;
* Nếu $x^2>2$ thì $\begin{cases}\left[ {\begin{matrix} x>\sqrt 2\\ x<- \sqrt 2 \end{matrix}} \right.\\ \left[
{x} \right]> 0 \end{cases}\Leftrightarrow x>\sqrt 2$
Suy ra $1 \le [x] \le x$ do đó
$[x]=x^2(x^2-2) \ge [x]=[x]^2(x^2-2)$
$\Leftrightarrow [x](x^2-2) \le 1\Rightarrow [x]=1$.
Từ đó $x^4-2x^2-1=0\Leftrightarrow x=\sqrt{1+\sqrt{2}}$ (do $[x]=1$).
Giá trị này thuộc khoảng đang xét.
Vậy tập nghiệm của PT $(6)$ là $\left\{ {-1,0,\sqrt{1+\sqrt{2}}} \right\}$.
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau
$1.$ $\left[ {\frac{2-5x}{4}} \right]=-x$.
$2.$ $\left[ {\frac{2x-1}{3}} \right]=\left[ {\frac{x+1}{2}} \right]$.
$3.$ $\left[ {\frac{1-x}{2}} \right]+\left[ {1-\frac{x}{2}} \right]=\frac{1-3x}{8}$.
$4.$ $1-[x+1]=\frac{[x]-x}{[x-1]}$.
$5.$ $x^4-3x^2-[x]=0$.
|